Разработка элективного курса "Физические основы теории протекания" для старших классов профильной школы

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика [6]. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объ

ектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Для того чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации.

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис. 7. Построение триадной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох [5]. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис. 1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом.

Для построения снежинки Коха выполним следующие операции (см. рис. 8). Рассмотрим в качестве нулевой итерации равносторонний треугольник.

Рис. 8. Снежинка Коха.

Затем каждую из сторон этого треугольника разделим на три равные части, уберем среднюю часть и в середине достроим равносторонний треугольник так, как изображено на рис. 8. На следующем шаге такой же процедуре деления на три равные части и достраивания равностороннего треугольника подвергается каждая из сторон новой фигуры, и так до бесконечности. В результате возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая , которая представляет собой самоподобное множество, называемое снежинкой Коха. Отличительной ее особенностью является то, что она, будучи замкнутой, тем не менее нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и никогда не "сталкиваются" друг с другом .

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.9 представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя.

Рис. 9. Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя.

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

множество Кантора;

треугольник Серпиньского;

коврик Серпиньского;

кладбище Серпиньского;

губка Менгера;

дерево Пифагора.

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

Триадное канторовское множество

Канторовские множества позволяют проиллюстрировать достаточно много важных и интересных специфических особенностей, присущих фракталам.

Очень простое построение, предложенное Кантором, позволяет получать фрактальные множества с фрактальной размерностью в интервале 0<D<1. Как показано на рис. 10, затравкой служит единичный отрезок, а образующий элемент делит его на три равные части и отбрасывает открытую среднюю часть, оставляя ее концевые точки. Затем образующий элемент применяется к каждому из двух оставшихся подынтервалов и т. д. Такая процедура очень быстро приводит к очень коротким отрезкам. Поскольку наша графика имеет конечное разрешение, мы обнаруживаем, что 6-е поколение отрезков неотличимо от 5-го. После бесконечного числа поколений оставшееся бесконечное множество точек рассеяно по единичному отрезку. Это множество называется канторовской пылью.

Вычислим теперь для канторовского множества различные размерности, введенные нами в предыдущих разделах.

Начнем с размерности Хаусдорфа-Безиковича, определяемой выражением (2.3). В n-м поколении канторовское множество состоит из N=2n отрезков длиной li = (1/3)n, i=1, 2, .,N. Если попытаться покрыть множество прямолинейными отрезками длины δ=li и расположить их аккуратно, то нам удастся покрыть все отрезки п-го поколения и, следовательно, все точки канторовского множества. Мера, определяемая формулой (2.3), равна величине

(11)

Рис. 10. Построение Триадного канторовского множества. Затравка-единичный отрезок [0,1]. Образующий элемент удаляет среднюю треть. На рисунке показаны первые пять поколений. D = ln2/ln3 = 0,6309.

Эта мера расходится или стремится к нулю при δ→ 0, если только мы не выберем d= D = ln2/ln3 = 0,6309. Топологическая размерность канторовского множества определяется величиной DT = 0. Так как DT < D, мы заключаем, что Триадное канторовское множество есть фрактальное множество с фрактальной размерностью

(12)