Разработка элективного курса "Физические основы теории протекания" для старших классов профильной школы

Рис. 5. а-Воздух, вытесняющий глицерин с большим капиллярным числом в перколяционном кластере, показанном на рис. 7.13; б- численное моделирование вытеснения жидкости в том же перколяционном кластере.

Различными оттенками серого цвета показаны поры, которые воздух занимает в последовательные моменты времени. И в экспери

менте, и при численном моделировании число пор, заполненных воздухом, в последовательные моменты времени составляло 30 (черные), 86, 213, и, наконец, 605 (светло-серые) при начале перколяции. Остов показан очень бледным серым цветом. Среди цветных вкладок есть вариант этих рисунков. На рис. 5 приводятся результаты численного моделирования течений в перколяционном кластере, исследованном в лабораторном эксперименте, при высоких капиллярных числах.

Результаты, полученные в лабораторном эксперименте и при численном моделировании, очень хорошо согласуются. И в эксперименте, и в численных результатах совпадают 70-80% узлов, заполненных воздухом на каждом этапе вытеснения. Отдельные реализации численной модели также совпадают друг с другом примерно на 75%. Это согласие говорит о том, что на пороге протекания вытеснение почти полностью определяется геометрическими факторами, потому что численная модель не учитывает такие эффекты, как межфазные напряжения и смачиваемость, которые, как известно, влияют на свойства двухфазных течений в пористых средах.

Вид остова перколяционного кластера зависит от того, как расположено место (или места) впрыскивания и место (места) вытекания. Для примера рассмотрим перколяционный кластер на границе протекания рс, показанный на рис. 1.2,6. Остов, связывающий отдельный узел на левой границе с отдельным же узлом на правой границе, показан на рис. 6, а, а на рис. 6, б изображен остов, связывающий все узлы левой и правой границ.

Рис. 6. Остовы перколяционного кластера на квадратной решетке, показанного на рис. 7.2, б, при критической концентрации рс. а-Остов, связывающий отдельный узел на левой границе решетки размеров 160 х 160 с отдельным узлом на правой границе; б-остов, связывающий все узлы на левой и правой границах.

Узлы остова образуют подмножество узлов перколяционного кластера, и каждый узел перколяционного кластера является также частью по меньшей мере одного остова. Поскольку перколяционные кластеры фрактальны и их размерность равна D — 1,89, остовы перколяционных кластеров также фрактальны и их размерность подчиняется неравенству DB < D. Большое число численных моделей (на пороге протекания рс) показали, что масса Мд(1) остова, связывающего границы квадрата со стороной /, равна

(8)

Оценки фрактальной размерности остова заключены в пределах DB ~ 1,62 + 0,02 [5], а недавно была получена оценка DB = 1,61 + 0,02. Кривая Мандельброта-Гивена может служить разумной моделью остова перколяционного кластера, и ее фрактальная размерность DB = 1,63 . достаточно близка к размерности остова.

Процесс вязкого вытеснения в перколяционном кластере выделяет лишь некоторое подмножество узлов остова. Это подмножество зависит от капиллярного числа. Лабораторные эксперименты и численные расчеты показывают, что фрактальная размерность структуры вязких пальцев равна D ~ 1,3 при высоких значениях Са и 1,5 при низких Са.

Изучая различные физические явления, происходящие на фракталах, мы получим в общем различные фрактальные размерности. Это происходит потому, что выбор конкретного физического процесса, происходящего на фоне фрактальной геометрии, по сути дела равнозначен выбору меры этого фрактального множества. Поэтому изучение физических явлений на фрактальных множествах естественным образом приводит к понятию мультифракталов, обсуждавшихся в предыдущей главе. Распределения тока и флуктуации сопротивления фрактальных цепей, состоящих из (нелинейных) сопротивлений, приводят к бесконечным наборам показателей, или мультифракталам.

Остовы имеют много геометрических особенностей, которые также фрактальны. Рассмотрим две точки, связанные остовом, который показан на рис. 6,а. Длина кратчайшего пути между этими точками lмин (равная числу узлов, которые необходимо посетить на этом пути) оказывается следующим образом зависящей от размера области l, т. е. евклидова расстояния между точками [7]:

(9)

На изображениях остовов, показанных, например, на рис. 7.15, заметно, что они состоят из "пузырей", соединенных "перемычками" [4]. Перемычки, которые Стэнли [4] называет также красными связями, обладают тем свойством, что если их перерезать, то остов распадается на две части и жидкость больше не может протечь от места впрыскивания до места вытекания. В пузырях связи продублированы и перерезание такой связи, т.е. удаление узла, не прерывает течения. Связи, соединяющие узлы внутри пузырей, Стэнли называет синими связями. Причина такой "раскраски" связана с электрическим аналогом протекания, когда ток течет сквозь перколяционный кластер от одного контактного узла (места впрыскивания) к другому краю кластера, где находится другой узел контакта. Весь ток протекает при этом через перемычки, и они раскаляются докрасна. В пузырях ток имеет возможность растечься по многим связям, и они остаются относительно холодными. Множество, состоящее из красных связей, образует подмножество узлов остова, которое также является фрактальным [4]. Если увеличивается расстояние L между парой узлов на разных концах остова, то число красных связей растет по степенному закону:

(10)

Было показано, что соотношение Dкpacн = 1/v между фрактальной размерностью множества красных связей и показателем v, который определяет особенность корреляционной длины £, при р = рс, точно выполняется и в случае большего числа измерений [4]. Почти вся масса остова сосредоточена в пузырях, так как фрактальная размерность множества красных связей намного меньше размерности остова. Поэтому фрактальная размерность множества узлов, принадлежащих пузырям, равна размерности остова. Кривые Мандельброта-Гивена содержат много тонких (красных) связей. Фрактальная размерность множества таких связей равна 0,63 . , что несколько меньше Dкpacн для перколяционного кластера .

Понятие "фрактал"

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.