Информационные технологии как средство формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии

Пример 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой?

Пример 2. Могут ли все боковые грани шестиугольной пирамиды быть равносторонними треугольниками?

Пример 3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани - кв

адраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником?

б). Задачи на выделение требуемых фигур из состава чертежа.

Пример. ABCDEKMO - изображение куба. Выпишите все изображенные на рисунке пирамиды и призмы, указывая вид фигуры.

в). Задачи на сопоставление различных видов изображений данного пространственного объекта (модели, развертки, чертежа, рисунка, проекции и т.п.).

Пример. Какие из предложенных на рисунке конфигураций являются развертками данного куба?

г). Задачи на определение взаимного расположения объектов и их элементов.

Пример 1. Вершины А и В параллелограмма лежат в плоскости в, а его вершина С не принадлежит этой плоскости. Как могут быть расположены относительно в стороны AD и CD параллелограмма?

Пример 2. Прямая р не имеет общих точек с линией пересечения плоскостей и . При этом р принадлежит. Как она может быть расположена относительно плоскости ?

Задания на распознавание объекта на основе сопоставления его различных изображений предполагает мысленное сопоставление разнотипных изображений объекта (рисунка и чертежа, развертки и модели и т.п.). Задание способствует формированию и развитию умения создавать пространственный образ на основе восприятия различных изображений.

В процессе выполнения заданий на распознавание пространственных объектов по их словесному описанию, необходимо мысленно представить описываемый объект и его элементы, удерживая его в памяти, проводить анализ и синтез пространственного образа, в некоторых случаях осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин.

Таким образом, задания данного типа служат для развития умения распознавать пространственные образы, что характеризует уровень их создания, но в процессе создания часто приходится и оперировать образами, мысленно изменяя их пространственное положение, структуру, переходя от одного вида наглядности к другому. Эти действия способствуют активному развитию пространственных представлений.

II. Упражнения на изображение геометрических объектов

Задания этого типа предполагают изображение пространственного объекта, заданного своей проекцией или словесным описанием, с помощью рисунка, чертежа, а также построение проекций данных геометрических фигур по их наглядному изображению и т.п.

К таким заданиям можно отнести следующие виды задач.

а). Задачи на изображение пространственной фигуры, заданной словесным описанием.

Пример 1. В пирамиде с основанием в виде правильного треугольника одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Что представляют собой грани такой пирамиды? Каким образом проходит высота пирамиды? Изобразите данную пирамиду?

Пример 2. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? Какими геометрическими фигурами являются ее грани? Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? Изобразите данную призму.

б). Задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить чертеж.

Пример. 1. Достройте изображение фигуры до куба:

Пример 2. Достройте изображение фигуры до треугольной пирамиды:

Пример 3. Достройте изображение фигуры до произвольного многогранника:

Пример 4. Достройте изображение многогранников по заданным вершинам: треугольная пирамида; треугольная призма;

в). Задачи на построение и использование разверток пространственных фигур.

Пример 1. Нарисуйте разные развертки: а) правильного тетраэдра, б) куба.

Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (AB = BC) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D1 (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?

Пример 3. Постройте развертку наклонной треугольной призмы.

г). Задачи, в которых по наглядному изображению или словесному описанию пространственного объекта требуется построить ее проекции.

Пример 1. Какая фигура может быть проекцией: а) отрезка, б) треугольника на данную плоскость (рассмотреть различные направления проектирования)?

Пример 2. Какое наименьшее число сторон может иметь параллельная проекция на плоскость выпуклого многогранника, имеющего n граней?

Пример 3. Многогранник имеет n вершин. Показать, что существует его параллельная проекция на плоскость, имеющая: не менее четырех вершин, не более n - 1 вершины.

д). Задачи, в которых по заданной проекции пространственного объекта необходимо восстановить его наглядное изображение.

Пример. Нарисуйте многогранник, заданный проекциями на три попарно перпендикулярные плоскости:

Развитие и совершенствование умений решать геометрические задачи обуславливает графическая культура учащихся, их умения выполнять рисунки, способность и навыки к визуализации задачи. Развитию конструктивных умений и навыков активно способствует приведенная группа задач. Кроме того, все они направлены на развитие пространственных представлений и воображения. Ведь в процессе решения таких задач, прежде чем изобразить пространственный объект с помощью рисунка или чертежа, необходимо отчетливо представить его, мысленно выполнить определенные конструктивные операции с его элементами. Задачи, выполняемые без применения чертежных инструментов, развивают глазомер, точность движений, что также является характеристикой развитых пространственных представлений.

Большую роль для развития умений оперировать созданным пространственным образом играют задачи на построение и использование разверток пространственных фигур. В процессе построения развертки необходимо мысленно развернуть геометрическую фигуру, сопоставить полученный результат с наглядным изображением (или существующим представлением), осуществлять анализ и синтез пространственного образа, удерживая его в памяти, изменять пространственное положение и структуру образа. В результате этих действий получен новый образ - развертка.

III. Упражнения на выполнение геометрических преобразований на плоскости и в пространстве

Этот тип включает упражнения на различные геометрические преобразования исходных образов пространственных фигур, которые выполняются как в пределах плоскости, так и в пространстве. К ним можно отнести следующие задачи.

а). Задачи на отыскание множеств точек - образов при определенном геометрическом преобразовании точки.

Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?