Различные способы создания моделей правильных многогранников

n = 3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами – куб.

в) Пусть грани - правильные пятиугольники, каждый плоский угол равен 180о (5 – 2) : 5 = 108о, 108о n<360о, n< n = 3, додекаэдр.

г) У правильного шестиугольника внутренние углы:

L = 180о (6 – 2 ) : 6 = 120о

В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

2.3. Почему правильные многогранники получили такие названия

Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:

эдрон – грань, окто – восемь, значит, октаэдр – восьмигранник

тетра – четыре, поэтому тетраэдр – пирамида, состоящая из четырех равносторонних треугольников,

додека – двенадцать, додекаэдр состоит из двенадцати граней,

гекса – шесть, куб – гексаэдр, так как у него шесть граней,

икоси – двадцать, икосаэдр – двадцатигранник.

Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства. Они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

3. «Жемчужины» теории многогранников

Создание моделей многогранников из развертки граней опирается на две изумительные теоремы, которые, несомненно, являются «жемчужинами» теории многогранников. Одна из них была доказана великим французским математиком Огюстеном Луи Коши, другая принадлежит выдающемуся академику Александру Даниловичу Александрову.

Теорема Коши (доказанная в 1813 г.) говорит о том, что из данных граней, взятых в определенном порядке, можно склеить единственный ( с точностью до движения) выпуклый многогранник. Каждый клеил или держал в руках картонную модель выпуклого многогранника и ощущал ее «жесткость». Это свойство многогранников может вызвать удивление, особенно если сопоставить его с тем, что среди многоугольников жестким является лишь треугольник. Шарнирный многоугольник отличный от треугольника подвижен. Чтобы задать многоугольник однозначно требуется знать не только стороны, но и углы. Многогранник же своими гранями задается однозначно, несмотря на то, что каждые две смежные по ребру грани, взятые сами по себе, легко поворачиваются вокруг общего ребра. В процессе склеивания модель будущего многогранника может долго сохранять подвижность. Но как только заклеивается последняя грань, модель становится жесткой. Единственный не школьный материал, который используется в доказательстве, - это знаменитая теорема Эйлера о многогранниках.

Теорема Эйлера. Пусть В – число вершин выпуклого многогранника, Р число его ребер и Г – число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2.

Число χ= В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. То, что эйлерова характеристика равна 2 для правильных многогранников видно из Приложения 2.

Теорема Коши утверждает единственность выпуклого многогранника, который можно склеить из развертки граней данного многогранника. Теорема Александрова описывает необходимые и достаточные условия на развертку, при которых из нее можно склеить выпуклый многогранник.

Для того чтобы понять смысл теоремы Александрова, необходимо ближе познакомиться с тем, что такое развертка многогранника.

Пусть имеется несколько многоугольников, у которых каждая сторона отождествлена с одной и только одной стороной того же или другого многоугольника этой совокупности. Это отождествление (или склеивание) сторон должно удовлетворять еще двум условиям:

1) отождествляемые стороны имеют одинаковую длину;

2) от каждого многоугольника к любому другому можно перейти, проходя по многоугольникам, имеющим отождествленные стороны.

Совокупность многоугольников, удовлетворяющих условиям 1) и 2), называется разверткой.

Эйлерова характеристика развертки определяется аналогично эйлеровой характеристике многогранника: χ= В-Р+Г, где Г – число многоугольников, входящих в развертку, Р – число сторон многоугольников, при этом каждые две отождествляемые между собой стороны считаются за одну, В – число вершин, причем отождествляемые между собой вершины также считаются за одну.

Теорема Александрова о развертке. Из всякой развертки, удовлетворяющей условиям:

1) ее эйлерова характеристика равна 2;

2) сумма углов, подходящих к любой вершине развертки, не превосходит 360, можно склеить выпуклый многогранник.

Если вершине развертки соответствует настоящая вершина многогранника, то сумма подходящих к вершине развертки углов будет строго меньше 360. Если же вершине развертки соответствует какая-либо точка внутри грани или ребра многогранника, то сумма подходящих к вершине развертки углов будет равна 360

4. Практическая часть

Можно признать идею полезной, но не уметь ею воспользоваться. И. Гете

4.1 Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки

Но хотелось бы показать и другие развертки, которые удовлетворяют всем условиям определения развертки многогранника, а также условиям теоремы Александрова, но их стороны не являются ребрами многогранника.

Например, в данной развертке, состоящей из единственного многоугольника, ни одна из сторон не является ребром куба, который получается из этой развертки.

 Скачать реферат