Измерение геометрических величин в курсе средней школы

(АВ*n)/m ≤ AB1/AB ≤ AB/n

Разделив это неравенство почленно на АВ, получим:

m/n ≤ AB1 ≤ m/n + 1/n

б) Проводим через точки деления прямые, параллельные АД. Получим n равных треугольников со сторонами АД и АВ*1/n, площади которых (по св-ву 1) равны и принимают значение S*1/n. Поэтому, площадь АВСД выражается неравенством:

(S/n)*m<=S1<=(S/n)(m+1).

Р

азделив почленно на S, получаем:

m/n<=S1/S<=m/n +1/n

в) Отношение АВ1/АВ и S1/S удовлетворяют одним и тем же неравенствам, причем числа m/n и m/n+ 1/n отличаются на величину 1\n. При сколь угодно больших n значение 1/n становится очень малым, а это возможно только тогда, когда числа равны. Итак:

S1/S=AB1/AB, ч. т. д.

Для вывода формулы площади прямоугольника воспользуемся только что доказанным свойством по отношению к квадрату, со стороной 1 и прямоугольником со сторонами 1 и а и а и в. Получаем:

S1/1=a/1; S/S1=в/1 => S1=а, S=S1в.

Следовательно:

S=а*в.

VII.Площади подобных фигур.

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

При доказательстве этого утверждения используют понятие простой фигуры, определение подобных фигур. Если фигура разбивается на простые треугольники, площади которых обозначим через , а фигура - на треугольники, площади которых и фигуры и подобны с коэффициентом , то линейные размеры треугольников в раз изменены, по отношению к размерам треугольников , то: и т. д., поэтому:

VIII. Площадь круга.

Круг – плоская фигура, но ее нельзя разбить на простые треугольники. Поэтому, такая фигура имеет площадь , если существуют содержащие её простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от .

При проведении уроков по теме «Площадь фигур» вывод общих формул должен закрепляться на частных примерах. Изложение теоретического материала должно быть максимально сокращено (в разумных пределах), что позволило бы сэкономить время для решения более сложных задач. (Возможно проведение уроков-лекций для изложения теории). Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев.

Задача 1.

а) Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.

B

A B1 D B2 C

б) Разделите данный параллелограмм на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.

B C

A K B1 D

Аналогично: Поэтому точки и делят соответственно отрезки и в отношении 2:1 от вершин и соответственно.

Задача 2.

Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, то есть:

. Так как получаем:

что требовалось доказать.

Задача 3.

Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.

M B C

A K D

1-ый способ.

Если - ромб, то , то есть . Наибольшее значение произведения зависит от наибольшего значения , которое достигается при , если , то . Следовательно, площадь ромба наибольшая среди всех площадей параллелограммов с данными диагоналями.

2-ой способ.

Составим функцию, выражающую площадь параллелограмма:

при .

Так как - наименьший угол, образуемый диагоналями при пересечении, то и будет точкой максимума, следовательно: ; и этот параллелограмм – ромб.

 Скачать реферат