Модель экспертной оценки

Правило Борда: каждый избиратель сообщает свои преимущества, ранжируя p кандидатов от наилучшего к наихудшему (безразличие запрещается). Кандидат не получает очки за последнее место, получает одно очко за предпоследнее место и так далее, получает p-1 очков за первое место. Побеждает кандидат с наибольшей суммой очков. Он называется победителем по Борду. Здесь так же не указывается, что д

елать при равенстве очков, то есть также может нарушаться условие нейтральности.

Охарактеризуем выше поставленную задачу.

Ее критерием качества является максимизация оценки Копленда (Борда).

Ограничениями выступают преимущества избирателей и их ранжирования кандидатов. Как будет указано дальше, фактически нужно налагать также ограничение и на количество избирателей и количество кандидатов. Однако это ограничение не является существенным, так как всегда при голосовании можно провести деление на округа.

За уровнем сложности это есть задача Р-типа. Время решения данной задачи составляет t0=a0+a1x+… +anxn і зависит от количества групп избирателей и количества кандидатов.

Нахождения победителя по правилам Копленда и Борда являются самыми простыми за своей структурой, оптимальные по Парето, анонимные, нейтральные (если не указывать, что делать при равенстве очков). Кроме того, правило Борда также удовлетворяет аксиоме участия и пополнения (они будут рассмотрены в следующем разделе).

Оптимальность по Парето:

Если кандидат а для всех лучший от кандидата b, то b не может быть избран.

Анонимность:

Имена избирателей не имеют значения – если два избирателя поменяются голосами, то результат выборов не изменится.

Нейтральность:

Имена кандидатов не имеют значения. Если мы поменяем местами кандидатов а и b в преимуществе каждого избирателя, то результат голосования изменится соответственно (если раньше выбирался а, то теперь будет выбираться b и наоборот; если выбирался некоторый х, отличающийся от но и b, то он же и будет избран).

Монотонность:

Допустимо, что а выбирается (среди победителей) при данном профиле и профиль изменяется только так, что положение а улучшается, а относительное сравнение пары любых других кандидатов для любого избирателя остается неизменным. Тогда а как и раньше будет избран (опять среди победителей) для нового профиля.

2. Формальная постановка задачи

Приведем еще раз задачу данной курсовой работы: используя профиль преимуществ избирателей, определить единственного победителя из множественного числа заданных. Должна существовать возможность проверки корректности задания профиля. Ограничениями на задачу является отсутствие безразличия и ранжировки кандидатов в строгом порядке. Опишем методы голосования, которые могут использоваться для решения данной задачи и наведем ряд основных определений и теорем.

Правило относительного большинства. Каждый избиратель отдает свои голос наилучшему для себя кандидату. Избирается кандидат, упомянутый в наибольшем количестве бюллетеней. Это правило может противоречить мнению большинства (см. 1, пример 9.1).

Определение 2.1. Правило Борда. Каждый избиратель сообщает свои преимущества, ранжируя р кандидатов от лучшего к хуже (безразличие запрещается). Кандидат не получает очков за последнее место, получает одно очко за предпоследнее и так далее, получает р-1 очков за первое место. Побеждает кандидат с наибольшей суммой очков. Он называется победителем по Борду.

Мы не уточняем, что делать при равенстве очков.

Определение 2.2. Для заданного профиля преимуществ победителем по Кондорсу называется кандидат а, что побеждает любого другого кандидата при парном сравнении по правилу большинства:

для всякого b¹а избирателей, которые считают а лучшим за b, больше, чем тех, кто считает, что b лучшим за а.

Зажиточное по Кондорсу правило выбирает победителя по Кондорсу, если такой существует.

Отсутствие победителя по Кондорсу является знаменитым "парадоксом голосования". Как часто может наблюдаться парадокс голосования? В общем случае вероятность p(p, n) того, что победителя по Кондорсу не существует при р кандидатах и n избирателях, растет по р и растет по числу избирателей от n к n+2. Это может быть проверено на основе вычисления p(п, р)для малых значений n и р, но в общем случае это утверждение остается недоказанным предположением.

Парадокс голосования становится почти достоверным событием, когда число кандидатов становится достаточно большим при фиксированном n. Если число избирателей становится достаточно большим при фиксированном р, то предельная вероятность p(p) может быть оценена по Фишберну [1984]:

которая справедлива с точностью до половины процента при р£50.

Определение 2.3. Правила голосования с подсчетом очков.

Фиксируем последовательность вещественных чисел, которая не спадает

s0£s1£…£sp-1 при s0<sp-1.

Избиратели ранжируют кандидатов, причем s0 очков дается за последнее место, s1 - за предпоследнее и так далее. Избирается кандидат с максимальной суммой очков.

Определение 2.4. Правило Копленда. Сравним кандидата а с любым другим кандидатом х. Начислим ему +1, если для большинства а лучше за х, -1, если для большинства х лучше за а, и 0 при равенстве. Суммируя общее количество очков по всем х, х¹а, получаем оценку Копленда для а. Избирается кандидат, названный победителем за Коплендом, с наивысшей из таких оценок.

Определение 2.5. Правило Симпсона. Рассмотрим кандидата а, любого другого кандидата х и обозначим через N(а,x) число избирателей, для которых а лучше за х. Оценкой Симпсона для а называется минимальное из чисел N(а,x) по всем х, х¹а. Избирается кандидат, названный победителем по Симпсону, с наивысшей такой оценкой. Оба этих правила зажиточные по Кондорсу.

Оптимальность по Парето. Если кандидат а для всех лучший от кандидата b, то b не может быть избранным.

Анонимность. Имена избирателей не имеют значения: если два избирателя поменяются голосами, то результат выборов не изменится.

Нейтральность. Имена кандидатов не имеют значения. Если мы поменяем местами кандидатов а и b в преимуществе каждого избирателя, то результат голосования изменится соответственно (если раньше выбирался а, то теперь будет выбираться b и наоборот; если выбирался некоторый х, отличающийся от а и b, то он же и будет выбран).

Правила Копленда и Симпсона оптимальные по Парето, анонимные и нейтральные, если мы рассматриваем их как отображения, которые ставят в соответствие каждому профилю преимуществ подмножество победителей. Анонимность и нейтральность очевидны. Проверить, что множественные числа победителей по Борду (Копленду, Симпсону) содержат только оптимальные по Парето результаты, достаточно просто. Да, оценка Симпсона кандидату, что доминируется по Парето, равняется нулю, а для оптимального по Парето кандидата она позитивна.

 Скачать реферат