Математические модели в менеджменте и маркетинге

1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

2) параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным врменных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью T0 лет (т.е. базовый промежуток для оценки параметров

имеет продолжительность T0 лет), то экстраполяционные расчеты по такой ПФ

следует проводить не более чем на T0 / 3 лет вперед (т.е. промежуток экстраполяции должен иметь продолжительность не более чем T0/3 лет).

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП еpt, где параметр (число) p(p>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

Эта ПФ - простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов, технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t) = f(A(t)-L(t), K(t)) или Y(t) = f(A(t) K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Пример Поиведем вариант ПФКД с учетом НТП v(t} =

Выделение существенных видов ресурсов (факторов производства) и выбор аналитической формы функции f называется спецификацией ПФ .

Преобразование реальных и экспертных данных в модельную информацию, т.е. расчет численных значений параметров ПФ на базе статистических данных с помощью регрессионного и корреляционного анализа, называется параметризацией ПФ .

Проверка истинности (адекватности) ПФ называется ее верификацией.

Выбор аналитической формы ПФ (т.е. спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или даже неявно) учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами (в случае микроэкономического уровня) или экономических закономерностей (в случае макроэкономического уровня), особенности реальных или экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации ПФ. Отметим здесь, что оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью метода наименьших квадратов.

2. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции

называется средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: Аi=f(x)/xi.

Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД для средних производительностей Y/K и Y/L основного капитала и труда были использованы соответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых х1=К и x2=L.

называется предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: Mi=df(x)/dxi.

Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат х i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Отношение предельной производительности Mi i-го ресурса к его средней производительности Аi называется (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ). Символика:

Сумма Е1 + Е2 = Еx называется эластичностью производства.

Е (приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса 1 увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Обратим внимание на то, что i - номер заменяемого ресурса, j -номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены (замещения) i-ого ресурса (фактора производства) j-м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий (но менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов.

Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ справедливо равенство

т.е. (предельная) норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса. Если х1 = К, х2= L, то отношение x1/x2=K/L называется капиталовооруженностью труда. В этом случае (предельная) норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.

Пусть ПФ - двухфакторная. При постоянном выпуске у и малых приращениях Дх1, и Дх2, имеем приближенное равенство

Предельная норма замены ресурсов R12 (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном выпуске у = а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну (малую) единицу.

3. Пример

Имеются статистические данные по производственному объединению “Угледобыча":

 Скачать реферат