Математические модели в менеджменте и маркетинге

Пусть (Х1 1, X21) - точка начального распределения товаров; проведем через эту точку кривые безразличия для Игрока 1 и Игрока 2 (рис. 4).

Если две кривые не касаются друг друга (т.е. если начальное распределение не является Парето-оптимальным), то в своем пересечении они образуют область, двигаясь внутрь которой каждый из игроков может увеличивать значение обеих функций полезности. При этом

. как легко показать, часть контрактного множества оказывается внутри области, образованной проведенными кривыми безразличия.

Игрокам имеет смысл вести переговоры относительно распределений, находящихся на контрактном множестве, а с учетом начального распределения - относительно участка контрактного множества, заключенного между двумя кривыми безразличия.

Эти кривые называются линиями угрозы, а выделяемый ими участок на контрактном множестве - переговорным множеством.

Линии угрозы в данном случае означают, что за их пределами (т.е. ниже и левее исходной кривой безразличия для Игрока 1 и выше и правее кривой безразличия для Игрока 2) какому-либо из игроков становится незачем вести переговоры - ему лучше (или, по крайней мере, не хуже) оставаться в ситуации начального распределения.

Для того чтобы переместиться на переговорное множество, в случае рис.4 Игрок 1 должен передать (продать) некоторое количество имеющегося у него товара 1 Игроку 2 в обмен на определенное количество товара 2, имеющегося у Игрока 2.

На переговорном множестве выделяется точка решения Нэша N, в которой достигается максимум произведения приращений дохода каждого из игроков по сравнению с доходом, который может быть получен без вступления в коалицию.

В результате проведенного анализа можно сделать вывод, что игроки могут улучшить свое первоначальное положение, обмениваясь товарами, и Игроку 1 выгодно уступить Игроку 2 некоторое количество товара 1 в обмен на товар 2.

4. Задача о дуополии

Рассмотрим в заключение решение задачи о дуополии.

В этой задаче две фирмы сталкиваются с проблемой удовлетворения спроса на некоторый товар. Объем спроса зависит от уровня назначаемых цен и описывается функцией d(р) (ей соответствует нисходящая линия на рис.5). Объем предложения товара каждой из фирм также зависит от уровня цен и в микроэкономике описывается функциями предложения s1(p}, s2(р); эти функции определяются уровнем предельных издержек каждой из фирм.

Предположим для простоты, что Фирма 1 и Фирма 2 имеют одинаковые функции предложения s1(p)=s2(p) .

Поиск решения в задаче о дуополии (т.е. определение уровня цен и объемов предложения каждой из фирм) базируется на принципах, общих для решения задач теории игр: каждая из сторон располагает информацией о себе и своем партнере (в данном случае - о функциях предложения каждой из фирм), об условиях игры (в данном случае - о функции спроса) и действует, исходя из предположения, что ее партнер располагает такой же информацией и действует рационально (т.е. стремится максимизировать свой доход).

Если Фирма 1 назначит цену на предлагаемый ею товар р1, а Фирма 2 примет эту цену, то Фирма 1 сможет продать объем товара, равный

Функция r1(p) называется остаточной функцией спроса, с которой сталкивается Фирма 1 (рис.5). Поскольку величина r1, описывает объем спроса, приходящийся только на продукцию Фирмы 1, то она получит максимум дохода, полностью удовлетворив этот спрос, т.е. при условии, что

В итоге Фирма 1, опираясь на имеющуюся у нее информацию, решает задачу поиска равновесного уровня цен р , при которых

Аналогичную задачу поиска равновесных цен решает Фирма 2

Учитывая, что s1(p)=s2(p), мы получим, что в ситуации равновесия

а доход каждой из фирм будет равен

Таким образом, в задаче о дуополии фирмы должны найти такой уровень цен р*, при котором они смогут полностью удовлетворить спрос на продукцию d(p*), распределив между собой производство этой продукции поровну и получив при этом одинаковый доход. Уровень равновесных цен и объем предложения каждой из фирм определяют в данной задаче ситуацию равновесия по Нэшу.

6. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

(Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. -М.:"Аудит",1997, Глава 9.)

Каким бы видом бизнеса вы ни занимались, вам приходится планировать предпринимательскую деятельность на будущий период. При составлении как краткосрочных, так и долгосрочных планов менеджеры вынуждены прогнозировать будущие значения таких важнейших показателей, как, например, объем продаж, ставки процента, издержки и т.д. В этой главе мы рассмотрим возможности применения в целях прогнозирования фактических данных за прошлые промежутки времени.

В предыдущей главе при характеристике регрессионных методов колебания зависимой переменной объяснялись на основе изучения соответствующих значений независимой переменной. В данной главе мы будем использовать аналогичный подход, причем в качестве независимой будет выступать переменная времени. К примеру, мы хотим объяснить колебания объемов продаж только через изменение значений этого показателя во времени, без учета каких-либо других факторов. Если удается выявить определенную тенденцию изменения фактических значений, то ее можно использовать для прогнозирования будущих значений данного показателя. Множество данных, в которых время является независимой переменной, называется временным рядом.

Модель, построенную по ретроспективным данным, не всегда можно использовать в прогнозировании отдельных показателей. Например, план некоторой компании может коренным образом измениться, если эта компания несет убытки. Кроме того, существует множество внешних факторов, которые могут полностью изменить тенденцию, существовавшую ранее. К таким факторам можно отнести существенные изменения цен на сырье, резкое увеличение уровня инфляции в мире в целом или стихийные бедствия, которые непредсказуемым образом могут повлиять на предпринимательскую деятельность.

В разделе 9.2 мы рассмотрим временные ряды, которые содержат такие элементы, как собственно тренд, сезонная вариация и циклическая вариация. Эти элементы можно объединять с помощью нескольких способов. Остановимся на двух типах моделей: модели с аддитивной компонентой и модели с мультипли-кативной компонентой. Как следует из их названий, элементы в этих моделях либо складываются друг с другом, либо перемножаются. Каждой из моделей соответствуют различные методы расчета компоненты тренда. Мы будем использовать сочетание методов скользящего среднего и линейной регрессии.

Следует иметь в виду, что описанные выше методы — это далеко не весь, а иногда и не лучший инструментарий для составления прогнозов. Существует множество других, более изощренных статистических методов. Помимо количественных, существуют также качественные методы, которые используются в условиях недостаточного количества или отсутствия фактических данных. Среди них можно назвать, например, метод Дельфи, который используется экспертами для прогнозирования возможных будущих последствий, и метод написания сценария.

 Скачать реферат