Математические модели в менеджменте и маркетинге

Балансовая стоимость основных фондов и валовая продукция производственного объединения даны с учетом пересчета по индексу цен.

Вычислить производственную функцию Кобба-Дугласа; определить коэффициенты эластичности валовой продукции по списочной численности и стоимости основных фондов, а также предельные производительности по этим факторам. По результатам расчетов сформулировать выводы.

Решение:

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет следующий вид

где b0 , b1 , b2 – параметры уравнения.

Для оценки параметров прологарифмируем уравнение и выполним замену переменных:

ln y =ln b0 + b1 ln x1 + b2 ln x2

b’0= ln b0 , y’= ln y, x’1= ln x1, x’2= ln x2.

В результате этих преобразований получим линейную модель

y’= b’0+ b1 x’1+ b2 x’2.

Для определения значений коэффициентов этой модели прологарифмируем исходные значения у и х1, х2, а затем используем метод наименьших квадратов.

В результате вычислений с помощью функции ЛИНЕЙН пакетаEXCEL получим

b1 = 0,424, b2 = 0,680,

ln b0 = 2,369 откуда b0= 10,690.

Следовательно, производственная функция Кобба-Дугласа имеет следующий вид

Y=10,690X10,424X20,68.

Коэффициент эластичности валовой продукции по списочной численности (по х1) равен b1 = 0,424.

Коэффициент эластичности валовой продукции по стоимости основных фондов (по х2) равен b2 = 0,680.

Следовательно, можно сделать вывод, что при увеличении списочной численности на 1% объём валовой продукции увеличится на 0,424% , а при увеличении стоимости основных фондов на 1% объём валовой продукции увеличится на 0,68%.

Предельная производительность по списочной численности равна

M1 = b1* Y / X1 = 0,424* Y / X1= 0,424* 10,690X1 –0,576 X20,68 ,

где Y / X1- производительность труда.

Предельная производительность по стоимости основных фондов равна

M2 = b2* Y / X2 = 0,680* Y / X2 =0,680* 10,690X10,424X2 –0,32 ,

где Y / X2 -фондоотдача.

5. Применение аппарата теории игр для анализа проблем микроэкономики

1. Основные понятия

Важным случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками. Классическими примерами здесь являются ситуации, где, с одной стороны, имеется один покупатель, с другой - продавец (ситуация монополия-монопсония). Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми.

В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры.

Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр.

Кооперативной игрой называется игра с ненулевой суммой, в которой игрокам разрешается обсуждать перед игрой свои стратегии и договариваться о совместных действиях, т.е. игроки могут образовывать коалиции. Основная задача в кооперативной игре состоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участников голосования.

Проблемы рыночного взаимодействия близки к проблемам теории игр и могут быть эффективно описаны и исследованы в ее терминах.

Представим себе экономику, в которой имеется два субъекта: Игрок1 (Фирма1) и Игрок2 (Фирма2), и два товара х1 и х2, (естественно, число игроков и товаров может быть большим, но в случае 2х2 все введенные понятия имеют наглядную интерпретацию.)

Каждыйиз игроков имеет свою функцию полезности, (функцию дохода) заданную на наборе товаров: h1(х1,х2), h2(х1,х2). В начале игры в экономике имеется общее количество Х1 первого товара и X2 - второго товара. Предположим, что это начальное количество благ как-то распределено между игроками: 1-й Игрок обладает количеством Х1 1первого товара и X21 - второго, 2-й Игрок - количествами X12 и X22, 1-го и 2-го товаров соответственно, так что X11 + X12 =Х1 и X2 1 + X22=X2.

Встают вопросы: могут ли игроки путем обмена имеющимися у них товарами улучшить свое положение, т.е. увеличить значение функций полезности h1, и h2, по сравнению с начальными уровнями h1(Х1 1, X21 ) и h2(X12,X22); каковы свойства такого решения?

Для наглядного представления экономики с двумя игроками и двумя товарами традиционно используется так называемый ящик Эджворта (рис. 1). 1-го Игрока, пунктирными - кривые безразличия 2-го Игрока)

В ящике Эджворта длина горизонтальной оси, соответствующей первому товару, равна общему количеству этого товара Х1, длина вертикальной оси - общему количеству товара X2. Выделенное пространство является множеством всех возможных распределений имеющихся товаров между двумя игроками. Нижний левый угол считается началом координат для 1-го Игрока, верхний правый угол - началом координат для 2-го Игрока.

На выделенном пространстве представлены также два множества кривых безразличия (линий уровня функций выигрыша), принадлежащих каждому из игроков. При этом точка начального распределения товаров имеет координаты (Х11, X21 ) в системе отсчета 1-го Игрока (и, соответственно, (X12,X22); в системе отсчета 2-го Игрока).

2. Парето-оптимальное множество решений

Рассмотрим для начала проблему эффективного распределения товаров между игроками. Единственным требованием к распределению, которое мы можем предъявить на начальном этапе анализа, является требование Парето-оптимальности. Распределение называется Парето-оптимальным, если положение ни одного из игроков нельзя улучшить, не ухудшая при этом положение его партнера.

Множество Парето-оптимальных распределений может быть наглядно представлено с помощью ящика Эджворта. В случае 2-х игроков Парето-оптимальное решение может быть найдено с помощью фиксации уровня полезности одного из игроков (скажем, Игрока 2) и поиска максимума функции полезности другого игрока.

В терминах ящика Эджворта это означает, что необходимо найти такую точку на фиксированной кривой безразличия Игрока 2, в которой Игрок 1 получает максимум своей функции полезности.

Очевидно, что такой точкой является точка, где кривые безразличия касаются друг друга, так как в противном случае Игрок 1 может, продвигаясь вдоль фиксированной линии уровня Игрока 2 внутрь, увеличить значение своей функции полезности (рис. 2).

Опираясь на этот факт, можно показать, что множество Парето-оптимальных распределений в ящике Эджворта будет множеством всех точек, в которых кривые безразличия Игрока 1 и Игрока 2 касаются друг друга (рис. 3).

Множество Парето-оптимальных распределений в пространстве товаров называется контрактным множеством, поскольку игрокам в общем случае имеет смысл договариваться между собой именно на этом наборе эффективных распределений.

3. Переговорное множество решений

Рассмотрим теперь ситуацию, когда каждый игрок обладает некоторым начальным количеством каждого из товаров. Встает вопрос: может ли это начальное распределение быть улучшено путем обмена товарами между игроками? Исследуем эту проблему с помощью ящика Эджворта.

 Скачать реферат