Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам

Основной недостаток интерполирования с помощью многочленов – неустранимые колебания, которые претерпевает кривая в промежутках между узлами.

При этом повышение степени интерполяционного полинома для большинства решаемых уравнений приводит не к уменьшению, а к увеличению погрешности.

Интерполяц

ия сплайнами

Происхождение термина “сплайны” связано с гибкой чертежной линейкой, которой пользовались для рисования гладких кривых, проходящих через заданные точки. Из теории упругости следует, что получающаяся кривая имеет постоянную кривизну и разрывы возникают лишь в третьей производной.

Обычно для сплайна выбирают кубический полином

,

определенный на интервале х из [xi-1, хi].

При этом вся кривая представляет собой набор таких кубических полиномов, с определенным образом подобранными коэффициентами аi , bi , ci , di , i- параметр сплайна.

! Если вдоль сплайна совершается механическое движение, то непрерывность второй производной предполагает непрерывность ускорения и, следовательно, отсутствие резких изменений приложенной силы.

N+1 узлов

N интервалов

4N неизвестных

Условия подбора коэффициентов:

1)условия Лагранжа: , ,

2)непрерывность первой и второй производной в узлах

фi’(xi) = фi+1’(xi); фi”(xi) = фi+1(xi)

3) условия в крайних узлах x0 и xn. Обычно задают условия свободных концов сплайна :

ф1”(x0) = 0, фn”(xn) = 0

Из полученных условий определяются зависимости между коэффициентами сплайнов:

В узле х = хi-1 коэффициент ai = fi-1.

В следующем узле x = xi выполняется условие ai+bihi+cihi2+dihi3 = fi, где элементарный шаг hi = xi – xi-1.

Потребуем непрерывности первой и второй производной на конце интервала

фi/(x) = bi+2ci(x-xi-1)+3di(x-xi-1)2 ,

фi//(x) = 2ci+6di(x-xi-1);

В узле x = xi первая производная

фi/(xi) = bi+2cihi+3dihi2 (1)

фi+1//(xi) = bi+1 (2)

Приравнивая (1) и (2), получаем bi +2cihi+3dihi2 = bi+1.

Вторая производная

фi//(xi) = 2ci+6cihi (3)

фi+1//(xi) = 2ci (4)

Приравнивая (3) и (4), получаем в свою очередь ci+3dihi = ci+1. Таким образом стыкуем все полиномы в узлах 1 ≤ i ≤ n-1. В крайних точках диапазона

ф1//(x0) = 2c1 = 0 → c1 = 0

ф1//(xn) = 2cn+6dnhn = 0 → cn +3dnhn = 0

Для всех 0 ≤ i ≤ n вышеприведенные соотношения представляют собой полную систему 4n линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов сплайнов, которую можно привести к системе ЛАУ, выразив коэффициенты ai, bi, di через ci и решить методом Гаусса или прогонки.

Система N линейных уравнений для коэффициентов сi:

для ,

где hi = xi-xi-1

После определения коэффициентов ci , 2N коэффициентов bi и di вычисляются по формулам:

,

И N уравнений для ,

Сплайновая интерполяция хороша тем, что требует знания в узлах только значений функции, но не ее производных.

Многомерная интерполяция

1) Последовательная интерполяция на прямоугольной сетке. Пусть заданы z i j = z(xi, yj) требуется найти z(x, y). Сначала при фиксированных yj0 найдем значение z(x, yj0),

Затем по полученному набору значений найдем z(x, y).

В случае интерполяции полиномом Лагранжа общая формула имеет вид

где k и m – количество узлов по сторонам прямоугольной сетки.

2) Треугольная конфигурация узлов.

z (x0, x1, y) = [z(x0, y)-z(x1, y)]/(x0-x1)

z (x, y0, y1) = [z(x, y0)-z(x,y1)]/(y0-y1)

Многочлен Лагранжева типа в этом случае имеет вид

9. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Постановка задачи аппроксимации по МНК. Условия наилучшего приближения.

Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то интерполяция не только не требуется, но и нежелательна! Здесь требуется построить кривую, которая воспроизводила бы график исходной экспериментальной закономерности, т.е. была бы максимально близка к экспериментальным точкам, но в то же время была бы нечувствительна к случайным отклонениям измеряемой величины.

Введем непрерывную функцию φ(x) для аппроксимации дискретной зависимости f(xi), i = 0…n. Будем считать, что φ(x) построена по условию наилучшего квадратичного приближения, если

. (1)

Весу ρ для i-й точки придают смысл точности измерения данного значения: чем больше ρ, тем ближе аппроксимирующая кривая «притягивается» к данной точке. В дальнейшем будем по умолчанию полагать ρ = 1 для всех точек.

Рассмотрим случай линейной аппроксимации:

φ(x) = c0φ0(x) + c1φ1(x) + … + cmφm(x), (2)

где φ0…φm – произвольные базисные функции, c0…cm – неизвестные коэффициенты, m < n. Если число коэффициентов аппроксимации взять равным числу узлов, то среднеквадратичная аппроксимация совпадет с интерполяцией Лагранжа, при этом, если не учитывать вычислительную погрешность, Q = 0.

Если известна экспериментальная (исходная) погрешность данных ξ, то выбор числа коэффициентов, то есть величины m, определяется условием:

. (3)

Иными словами, если , число коэффициентов аппроксимации недостаточно для правильного воспроизведения графика экспериментальной зависимости. Если , многие коэффициенты в (2) не будут иметь физического смысла.

Для решения задачи линейной аппроксимации в общем случае следует найти условия минимума суммы квадратов отклонений для (2). Задачу на поиск минимума можно свести к задаче поиска корня системы уравнений , k = 0…m. (4).

Подстановка (2) в (1), а затем расчет (4) приведет в итоге к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

 Скачать реферат