Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам

Далее следует решить полученную СЛАУ относительно коэффициентов c0…cm. Для решения СЛАУ обычно составляется расширенная матрица коэффициентов, которую называют матрицей Грама, элементами которой являются скалярные произведения базисных функций и столбец свободных коэффициентов:

,

где , , j = 0…m, k = 0…m.

После того как с помощью, например, метода Гаусса найдены коэффициенты c0…cm, можно построить аппроксимирующую кривую или вычислить координаты заданной точки. Таким образом, задача аппроксимации решена.

Аппроксимация каноническим полиномом.

Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента x:

φ0(x) = x0 = 1; φ1(x) = x1 = x; φm(x) = xm, m < n.

Расширенная матрица Грама для степенного базиса будет выглядеть следующим образом:

.

Особенность вычислений такой матрицы (для уменьшения количества выполняемых действий) состоит в том, что необходимо сосчитать только элементы первой строки и двух последних столбцов: остальные элементы заполняются сдвигом предшествующей строки (за исключением двух последних столбцов) на одну позицию влево. В некоторых языках программирования, где отсутствует быстрая процедура возведения в степень, пригодится алгоритм расчета матрицы Грама, представленный далее.

Выбор базисных функций в виде степеней x не является оптимальным с точки зрения достижения наименьшей погрешности. Это является следствием неортогональности выбранных базисных функций. Свойство ортогональности заключается в том, что для каждого типа полинома существует отрезок [x0, xn], на котором обращаются в нуль скалярные произведения полиномов разного порядка:

, j ≠ k, ρ – некоторая весовая функция.

Если бы базисные функции были ортогональны, то все недиагональные элементы матрицы Грама были бы близки к нулю, что увеличило бы точность вычислений, в противном случае при определитель матрицы Грама очень быстро стремится к нулю, т.е. система становится плохо обусловленной.

Блок-схема алгоритма формирования матрицы Грама и аппроксимации полиномом.

Аппроксимация ортогональными классическими полиномами.

Представленные ниже полиномы, относящиеся ко многочленам Якоби, обладают свойством ортогональности в изложенном выше смысле. То есть, для достижения высокой точности вычислений рекомендуется выбирать базисные функции для аппроксимации в виде этих полиномов.

1) Полиномы Чебышева.

Определены и ортогональны на [–1, 1] с весом . В интервал ортогональности всегда можно вписать область определения исходной функции с помощью линейных преобразований.

Строятся следующим образом (рекуррентная формула):

T0(x) = 1;

T1(x) = x;

Tk+1(x) = 2xTk(x) – Tk–1(x).

2) Полиномы Лежандра.

Определены и ортогональны на [–1, 1] с весом .

Строятся следующим образом (рекуррентная формула):

L0(x) = 1;

L1(x) = x;

.

Сглаживание и линейная регрессия.

Рассмотрим несколько наиболее простых с точки зрения программной реализации случаев аппроксимации (сглаживания).

1) Линейная регрессия.

В случае линейного варианта МНК (линейная регрессия) φ(x) = a + bx можно сразу получить значения коэффициентов a и b по следующим формулам:

,

,

где , .

2) Линейное сглаживание по трём точкам.

3) Линейное сглаживание по пяти точкам.

10. Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным.

Общие сведения о численном решении уравнений с одним неизвестным.

Пусть задана непрерывная функция f(x). Требуется найти корни уравнения f(x) = 0 численными методами – это и является постановкой задачи. Численное решение уравнения распадается на несколько подзадач:

1) Анализ количества, характера и расположения корней (обычно путем построения графика функции или исходя из физического смысла исследуемой модели). Здесь возможны следующие варианты:

· единственный корень;

· бесконечное множество решений;

· корней нет;

· имеется несколько решений, как действительных, так и мнимых (например, для полинома степени n). Корни четной кратности выявить сложно.

2) Локализация корней (разбиение на интервалы) и выбор начального приближения к каждому корню. В простейшем случае можно протабулировать функцию с заданным шагом.

Если в двух соседних узлах функция будет иметь разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере один).

3) Вычисление каждого (или интересующего нас) корня уравнения с требуемой точностью. Уточнение происходит с помощью методов, изложенных ниже.

Метод дихотомии (бисекций).

Иначе называется методом половинного деления. Пусть задан начальный интервал [x0, x1], на котором f(x0)f(x1) ≤ 0 (т.е. внутри имеется не менее чем один корень). Найдем x2 = ½ (x0 + x1) и вычислим f(x2). Если f(x0)f(x2) ≤ 0, используем для дальнейшего деления отрезок [x0, x2], если > 0 – используем для дальнейшего деления отрезок [x1, x2], и продолжаем деление пополам.

Итерации продолжаются, пока длина отрезка не станет меньше 2ξ – заданной точности. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. В качестве иного критерия можно взять | f(x)| ≤ ξy.

Скорость сходимости метода невелика, однако он прост и надежен. Метод неприменим к корням четной кратности. Если на отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс.

Если на заданном интервале предполагается несколько корней, то существует возможность последовательно исключать найденные корни из рассмотрения. Для этого воспользуемся вспомогательной функцией , где – только что найденный корень. Для функций f(x) и g(x) совпадают все корни, за исключением (в этой точке полюс функции g(x)). Для достижения требуемой точности рекомендуется грубо приблизиться к корню по функции g(x), а затем уточнить его, используя f(x).

 Скачать реферат