Решения задачи планирования производства симплекс методом

рационального использования сырья и материалов; задачи оптимального раскроя;

оптимизации производственной программы предприятий;

оптимального размещения и концентрации производства;

составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

управления производственными запасами;

и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Для большого количества пра

ктически интересных задач целевая функция выражается линейно – через характеристики плана, причем допустимые значения параметров подчинены линейным равенствам или неравенствам. Нахождение при данных условиях абсолютного экстремума целевой функции носит название линейного программирования.

Первым исследованием по линейному программированию является работа Л. В. Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”, опубликованная в 1939 г. В нем дана постановка задач линейного программирования, разработан метод разрешающих множителей решения задач линейного программирования и дано его теоретическое обоснование.

Прямая задача линейного программирования является математической формулировкой проблемы составления такого плана использования различных способов производства, который позволяет получить максимальное количество однородного продукта при имеющихся в наличии ресурсах.

Математическое программирование – это прикладная отрасль математики, которая является теоретической основой решения задач оптимального планирования.

Существуют следующие разделы математического программирования: линейное, параметрическое, нелинейное и динамическое программирование. Наиболее разработанным и широко применяемым разделом математического программирования является линейное программирование, целью которого служит отыскивание оптимума (max, min) заданной линейной функции при наличии ограничений в виде линейных уравнений или неравенств.

1.3 Линейное программирование

Линейное программирование — математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно — основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, еще до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

1.4 Математическая формулировка задачи линейного программирования

Нужно определить максимум линейной целевой функции (линейной формы)

при условиях

при .

Иногда на xi также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя ее во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f).

Такую задачу называют "основной" или "стандартной" в линейном программировании.

1.5 Постановка задачи целочисленного программирования

По смыслу значительной части экономических задач, относятся к задачам линейного программирования, компоненты решения должны выражаться в целых числах, т.е. быть целочисленными. К ним относятся, например, задачи, в которых переменные означают количество единиц неделимой продукции, число станков при загрузке оборудования, число судов при распределениях по линиям, число турбин в энергосистеме, число вычислительных машин в управляющем комплексе и многие другие.

Задача линейного целочисленного программирования формируется следующим образом: найти такое решение (план) X = (x1,x2, .,xn), при котором линейная функция

(1)

принимает максимальное или минимальное значение при ограничениях

=bi, i=1, 2…,m. (2)

хj ³ 0, j=1, 2, .,n.(3)

xj — целые числа (4)

2. Обзор основных алгоритмов решения задач ЛП

2.1 Целочисленное линейное программирование - метод отсечений Гомори

Целочисленное линейное программирование (сокращенно ЦЛП) занимается задачами линейного программирования с целочисленными переменными, общая задача формулируется следующим образом: найти max{сх|Ах ≤ b; х - целочисленный}. ЦЛП может рассматриваться так же, как поиск точки решетки, принадлежащей многограннику или как решение системы линейных уравнений с целыми неотрицательными переменными. Иными словами, в ЦЛП рассматриваются совместные ограничения неотрицательность и целочисленность.

2.1.1 Отсечения

С помощью отсечений выделяют целочисленные части полиэдров. Метод отсечений был разработан в конце 1950-х годов Гомори для решения целочисленных линейных программ с помощью симплекс-метода. Метод отсечений оказался полезным и с теоретической точки зрения он дает возможность описать целочисленную оболочку полиэдра.

Далее описывается метод отсечений Гомори, дающий алгоритм решения задач целочисленного линейного программирования. Данный метод, который также носит название метода отсекающих плоскостей, предназначен для решения ЦЗЛП (целочисленной задачи линейного программирования) в канонической форме.

Описываемая ниже версия алгоритма предназначена для решения полностью целочисленных задач, т.е. таких, у которых все параметры aij, cj, bi – целые.

2.1.2 Описание алгоритма

Приведем обобщенную схему алгоритма Гомори. Структурно он делится на так называемые большие итерации. Каждая большая итерация содержит этапы:

1.Сначала задача решается методами линейного программирования (малые итерации), обычно симплекс-методом, и анализируется результат, если результатом являются целые числа, то на этом решение заканчивается, а если дробные, то производят следующие операции:

2. В оптимальном плане (симплекс-таблице) выбирают строку, в которой целая часть дробного(!) свободного члена (P0) принимает наибольшее значение.

3.Построение для найденной компоненты условия отсечения.

Исходя из уравнения по данной строке xr=P0r - ar,1*x1 - … - ar,n*xn в систему ограничений добавляем неравенство, в котором коэффициенты будут дробными частями коэффициентов данного уравнения:

{P0r} –{ar,1}*x1 - … -{ar,n}*xn ≤ 0.

Переводим к каноническому виду добавляя новую переменную xn+1, получим:

 Скачать реферат