Математическое моделирование роста доходности страховой компании

l¢(t)=(1-a+am)j’()e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)j’()

e-rt(1-a+am)(j()-j’()mg width=37 height=44 src="images/referats/9828/image003.png">)+l(t)((1-m)(j’()-j())+ Cm+1)=0

K’(t)-(1-m)L(t)j( )+(g+d+pc)K(t)+(Cm+1)L(t)=0 (1.5)

Обозначим k(t)=K(t)/L(t) и продифференцируем по t

k’(t)= (1.6)

Из (1.5) учитывая, что n(t)=(dL/dt)/L(t), получим:

K’(t)/L(t) = k’(t)+ k (t)n(t) (1.7)

ля упрощения выписанных выше выражений введем еще одно обозначение: z(k) = j’(k) k -j(k) (1.8)

Функция j(k) построена на основе F(,1) и поэтому для нее выполняются следующие свойства:

a) j¢(k)>0

b) j¢¢(k)<0

c) j’(k) ® ? для k ® 0

d) j’(k) ® 0 для k ® ?

Разделив последнее уравнение из (1.5) на L(t) и учтя обозначения, получим:

l’(t)= (1-a+am)j’(k(t))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)j’(k(t))) (1.9)

l(t) =( 1-a+am)z(k(t))e-rt /((1-m)z(k(t))+Cm+ 1) (1.10)

k’(t)=(1-m)j(k(t))-(g+d+pc)k(t)- (Cm+1) (1.11)

Продифференцировав (1.10) по t, получим:

-rt

l¢(t)=2 -rl(t) (1.12)

Учитывая, что

z’(k(t)) =j’’(k(t))k’(t)k(t) (1.13),

получаем, что формула (1.12) примет вид.

-rt

l¢(t)=2-rl(t) (1.14)

Подставляя в (1.14) соотношения (1.9) и (1.10), выясним, что темп изменения капиталовооруженности вычисляется по формуле:

k’(t) = (1.15)

где

U(t) = (1 -m ) z(k(t)) + 1 + Cm

V(t) =(1-a+am)(j¢(k(t))U(t) + z(k(t))(r + d+g+pc-(1-m)j¢(k(t)))

Проведем качественный анализ уравнения ( 1.15 ).

Так как j¢(k) <0 для k >0, знаменатель в ( 1.15 ) отрицателен.(Мы предполагаем, что (1-a+am)(1+Cm)>0).

Далее из условий на функцию j(k) для z(k)=j¢(k)k-j(k) получаем z(k)£0 и z(k)® 0 при k ®0, и z(k) ® - ? при к ® ?. Для малых k

получаем U>0, V>0, так как j¢(k) - большое число, то k’<0. Для больших k получаем U<0, V<0, так как z(k) ® - ?, следовательно k’ <0. Из монотонного убывания U и V, что каждое из рассматриваемых уравнений U=0 и V=0 имеет единственный корень.

Таким образом область разбивается на три участка: kÎ[0,k1),

k Î[ k1, k2),kÎ[ k2,¥)

Из рисунка 1 видно, что существует одна точка не устойчивого равновесия k1(m) и две точки 0 и k2(m) устойчивого равновесия. Нетрудно видеть, что k1(m) и k2(a,m) монотонно возрастающие функции по m. Если начальное значение k0=K0/L0 меньше чем k1(m), тогда k® 0 и фирма гибнет. В противном случае размеры фирмы стабилизируются и стремятся к k2(m). Следовательно мы можем рассматривать k2(m) как оптимальный размер фирмы для данных значений параметров управления a,m,g,d,Wr,Cm. Таким образом, если заданы величины указанных выше параметров, то по величине k(t)=может быть оценено качество начального состояния и перспективы развития страховой компании.

Предлагается следующий путь:

Если <K(0), то необходимы меры по росту капитала или уменьшению L(t).Если есть возможность увеличить капитал, например за счет кредита, то получаем следующую задачу:

>K(0)

DK(t)®max

Если нет никакой возможности по увеличению капитала, то уменьшают фонд оплаты труда. В этом случае задача выглядит следующим образом:

>K(0)

L(t)*<L(t)<L(t)**

DL(t)®min

Приведем пример расчетов оптимального размера фирмы.

Рассмотрим влияние изменений параметра управления a на оптимальный размер страховой компании. Данные для расчета были предоставлены компанией Росгосстрах. Предполагается, что d=0.13, g=0.03, m= 0.1, Cm=0.8. Тогда зависимость k1, k2 представлены в таблице 1.

Таб.1

Можно исследовать значения k1 и k2 для других значений параметров, полагая m= 0.05, получаем таблицу 2.

Таб.2

Окончательно заметим, что изменение ставки комиссионного вознаграждения m при фиксированном капитале К ведет к уменьшению капиталовооруженности k.

§2 Математический анализ многомерной модели роста доходности страховых компаний

Рассматриваемая модель имеет вид:

Максимизировать

m R(t) + (1-a) R(t)) e-rt dt

при условии

(1-m)R(t)=+(Cm+1)L(t) + dK(t)+ K’(t)+ p(t)K,

 Скачать реферат