Математическое моделирование роста доходности страховой компании

0<d<1, p(t)³pc, 0<g+d+p<1,0<a<1, 0<m<1

L(0)= L0, L0>0 K(0)= K0,K0>0

K0 - начальный оборотный капитал фирмы, L0 - начальный фонд оплаты труда штатных работников.

Будем рассматривать случай для n=2. Тогда рассматриваемая модель примет вид:

Максимизировать

(am (b1+b2)R(t) + (1-a)

R(t)) e -rt dt

при условии

(1-m)R(t)=g(K1(t)+K2(t))+CmL(t)+L(t)+dK(t)+K’(t)+p(t)K(t),

0<d<1, p(t)³pc, 0<g+d+p<1, 0<a<1, 0<m<1

L(0)=L0, L0>0 K(0)= K0, K0>0

Выпишем функцию Лагранжа, учитывая (2.3) (гл.1) для случая n=2,(1.1) и тот факт, что F(K1(t), K2(t),L(t)) однородна, получим:

W(t)=(1- a+am(b1+b2))L(t)je-rt+

l(t)(-(1-m)L(t) j+ (g+d+pc)K(t) + (Cm + 1)L(t) + K’(t))

В результате исходная модель примет вид:

W(t) dt ® max (2.1)

при условиях L(0)=L0, K(0)=K0 (2.2)

0<d<1, 0<g+d+pc<1, 0<a<1, 0<m<1 (2.3)

Далее, выпишем систему уравнений Эйлера - Лагранжа, вытекающую из (2.1)-(2.3)

(1-a+am(b1+b2))j’k1/le-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)

j’ )-l’(t)=0

(1-a+am(b1+b2))j’k2/l)e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k2/l) -l’(t)=0

l(t)=[(1-a+am(b1+b2))(j’k1/l+ j’k2/l-j+e-rt]/[(1-m)(j’k1/l+

j’-j-Cm-1]

K’(t)-(1-m)L(t)j +(g+d+pc)K(t)+(Cm+1)L(t)=0

Перепишем последнюю систему в удобном виде.

l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k1/l l)e-rt+

l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k1/l l)

l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k2/l le-rt+

l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k2/l l)

l(t)=[(1-a+am(b1+b2))(j’k1/l+ j’k2/l-j+e-rt]/[(1-m)(j’k1/l+

j’-j-Cm-1]

K’(t)=(1-m)L(t)j -(g+d+pc)K(t)-(Cm+1)L(t) (2.4)

Обозначим

k(t)=K(t)/L(t), k1(t)=K1(t)/L(t), k2(t)=K2(t)/L(t) и n(t)=(dL/dt)/L (2.5)

и проведем аналогичные §1 рассуждения. Тогда справедливо соотношение (1.7).

Для упрощения полученной системы введем еще одно обозначение:

z(k(t)) = j’k1(t)(k1(t),k2(t)) k1(t) +j’k2(t)(k1(t),k2(t)) k2(t)-j(k1(t),k2(t))

Разделив уравнение (2.4) на L(t) и учитывая обозначения, получим:

l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k1(k1(t), k2(t))e-rt+

l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k1(k1(t), k2(t))) (2.6)

l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k2(k1(t),k2(t))e-rt+

l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k2(k1(t), k2(t))) (2.7)

l(t)=[(1-a+am(b1+b2))z(k1(t),k2(t))e-rt]/[(1-m)(z(k1(t),k2(t))+Cm+1] (2.8)

k’(t)=(1-m)j(k1(t),k2(t))-(g+d+pc)k(t)-(Cm+1) (2.9)

Продифференцируем (2.8) по t. Получим:

-rt

l¢(t)=2 -rl(t) (2.10)

Учитывая, что z’(k1(t),k2(t)) =j’’k1k1( k1(t),k2(t))k’1(t)k1(t) +j’’k2k2( k1(t),k2(t))k’2(t)k2(t), получаем, что формула (2.10) примет вид

l¢(t) =e -rt(j’’k1k1( k1(t),k2(t))k’1(t)k1(t) +j’’k2k2( k1(t),k2(t))k’2(t)k2(t))(1- a+am(b1+b2))(Cm+1) / [(1 -m)z(k1(t),k2(t)) + Cm +1] 2 - rl(t) (2.11)

Подставляем в (2.11) соотношения (2.6) и (2.8), (2.7) и (2.8) соответственно, получим, что темп изменения капиталовооруженности вычисляется по формулам:

k’(t)=(1-m)j(k1(t),k2(t))-(g+d+pc)k(t)-(Cm+1)

k’1(t)=

k’2(t)=

где

U(t)= (1 -m)z(k1(t),k2(t)) + Cm +1

V1(t)= Cm +1+z(k1(t),k2(t))((1 -m) +j’k1( k1(t),k2(t))(1 -m)-(g+d+pc+r))

V2(t)= Cm +1+z(k1(t),k2(t))((1 -m) +j’k2( k1(t),k2(t))(1 -m)-(g+d+pc+r))

Рассмотрим случай, когда оба агента участвуют в формировании капитала фирмы в равных долях. Тогда (при n=1) рассматриваемая модель сводится к сличаю приведенному в §1. Однако, если доли не равны, то приходим к качественно новой задаче.

§3 Математический анализ многосекторной модели роста доходности страховой компании

Напишем ее формулировку.

Максимизировать

¥ n n -rt

J(t)=ò( åaIj(t)+ å(1-a)Rj(t))e dt

0 j=1 j=1

при ограничениях

Rj(t)=F(Kj(t), L(t)) "j j=1,n

Ij(t)=m jRj(t), 0<mj<1,"j,j=1,n

n

(1- m)R(t)= åWaj(t)+L(t)+K’(t)+dK(t)+p(t)K(t)

j=1

Waj(t) = gKj(t)+CmL(t) "j,j=1,n

0<g<1, 0<Cm <1, 0<d<1

0<a<1, p(t)³pc

L(0)=L0, L0>0, K(0)=K0, K0>0

Выпишем модель для случая n=2.

Максимизировать

?

ò (a(m1 R1(t) + m1R2(t)) + (1-a) (R1(t)+R(t)) e -rt dt

0

при условии

(1-m1-m2)R(t)=g( K1(t)+ K2(t))+ CmL(t)+L(t) + dK(t)+K’(t)+p(t)K(t),

0<d<1, p(t)³pc,0<g+d+p<1

L(0)=L0, L0>0 K(0)=K0,K0>0

K0 - начальный капитал фирмы, L0 - начальное количество работников.

Выпишем функцию Лагранжа, учитывая (2.6), (1.1) и тот факт, что F(Kî(t),L(t)) "j,j=1,2 однородна, получим:

W(t)=(am1L(t)j( ()+am2L(t)j( ()+(1- a)L(t)j( ()e-rt + l(t)( -(1-m1-m2)L(t)j(() + (g+d+pc)K(t) + (Cm +1)L(t) + K’(t))

 Скачать реферат