Элементы теории вероятности

Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с име­ющимися в нашем распоряжении выборочными данными х1,х2…хn, со­провождаемая количественной оценкой степени достоверности получаемо­го вывода, осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.

Результат подобного сопоставления может быть либо отрицатель­ным (данные на

блюдения противоречат высказанной гипотезе, а потому от этой гипотезы следует отказаться), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе), а потому ее можно принять в качестве одного из естественных и допустимых решений. При этом неотрицательный результат статистической проверки ги­потезы не означает, что высказанное нами предположительное утвер­ждение является наилучшим, единственно подходящим: просто она не противоречит имеющимся у нас выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с H обладать и другие гипотезы.

По своему прикладному содержанию высказываемые в ходе статистической обработки данных гипотезы можно подразделить на несколько основных типов.

При обработке ряда наблюдений х1,х2…хn , (5)

исследуемой случайной величины ξ очень важно понять механизм форми­рования выборочных значений хi, т.е. подобрать и обосновать некоторую модельную функцию распределения Fмод(x), с помощью которой можно адекватно описать исследуемую функцию распределения Fξ(x). На определенной стадии исследования это приводит к необходимости проверки гипотез типа: (6)

где гипотетичная модельная функция может быть как заданной однознач­но (тогда Fξ(x) = F0(x), где F0(x) - полностью известная функция), так и заданной с точностью до принадлежности к некоторому параметри­ческому семейству (тогда Fмод(x) = F(х;θ), где θ - некоторый, вообще говоря, к-мерный параметр, значения которого неизвестны, но могут быть оценены по выборке (5).

Проверка гипотез типа (6) осуществляется с помощью так назы­ваемых критериев согласия и опирается на ту или иную меру различия между анализируемой эмпирической функцией распределения Fξ(n)(x) и гипотетическим модельным законом Fмод(x).

Наиболее типичные задачи такого рода характеризуются следующей обшей ситуацией. Пусть мы имеем несколько «порций» выборочных дан­ных типа(5):

(7)

Эти порции могли образоваться, например, естественным образом - в ходе проведения выборочного обследования (скажем, за счет разделенности условий их регистрации во времени или пространстве). Обозначая функцию распределения, описывающую вероятностный закон, которому подчиняются наблюдения j-й выборки, с помощью Fj(x) и снабжая тем же индексом все интересующие нас эмпирические и теоретические харак­теристики этого закона (средние значения âj и аj; дисперсии σ2j и σ2j ).

В случае неотрицательного результата проверки этих гипотез го­ворят, что соответствующие выборочные характеристики (например, а1, а2, ,аi) различаются статистически незначимо.

Пусть, например, ряд наблюдений (5) дает нам значения некоторого параметра изделий, измеренные на n изделиях, случайно отобранных из массовой продукции определенного станка автоматической линии, и пусть а0 заданное номинальное значение этого параметра. Каждое отдельное значение хi - может, естественно, как-то отклоняться от заданного номина­ла. Очевидно, для того чтобы проверить правильность настройки этого станка, надо убедиться в том, что среднее значение параметра у произво­димых на нем изделий будет соответствовать номиналу, т. е. проверить гипотезу типа

(11)

В общем случае гипотезы подобного типа имеют вид:

(12)

где θ - некоторый параметр (многомерный), от которо­го зависит исследуемое распределение, а Δ0 - область его конкретных гипотетических значений, которая может состоять всего из одной точки.

Статистическая проверка гипотез о числовых значениях параметров играет важную роль в эконометрическом моделировании, регрессионном анализе, в широком спектре задач статистического исследования зависи­мостей, существующих между анализируемыми показателями. В частности, принятие решения о включении или исключении той или иной переменной в анализируемую регрессионную (эконометрическую) модель, о наличии-отсутствии статистической связи между наблюдаемыми при­знаками существенно опирается обычно на проверку гипотез типа (12) при Δ0= 0.

Заключение

На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Вероятность любого собы­тия А определяется как сумма вероятностей всех элементарных событий, составляющих событие.

Априорный подход к вычислению вероятностей P{wi} заключается в теоретическом, умозрительном анализе специфических условий данного конкретного случайного эксперимента. Вероятность события в данном классе ситуаций может быть определена как отношение числа благопри­ятных исходов (т. е. элементарных исходов, входящих в это событие) к числу всех возможных исходов (так называемое классическое определение вероятности).

В соответствии с апостериорно-частотным подходом, вероятность Р{wi} определяется как предел относительной частоты появления исхода в процессе неограниченного увеличения об­щего числа случайных экспериментов n.

Апостериорно-модельный подход заключается в следующем: в рамках априорного подхода разработан и использован набор модельных вероятностных пространств. Исследователь располагает результатами ограниченного ряда случайных экспериментов, согласно которому он выбирает ту или иную вероятностную модель или модели, которые соответствуют этим результатам наилучшим способом.

Стохастические зависимости проявляются только в массовых процессах и при большом числе единиц совокупности. При стохастической зависимости для заданного значения объясняющей переменной можно указать ряд значений зависимой переменной, случайным образом рассеянных в интервале, то есть каждому фиксированному значению аргумента соответствует определенное статистиче5ское распределение значений функции. Это объясняется тем, что зависимая переменная кроме выделенной переменной подвержена влиянию ряда не контролируемых факторов, а также тем, измерения переменных неизбежно сопровождаются случайными ошибками. Наиболее распространенной в эконометрических приложениях формой представления стохастической зависимости является аддитивная линей­ная форма.

Процедура обоснованного сопоставления высказанного исследовате­лем предположительного утверждения (гипотезы) относительно природы или величины неизвестных параметров рассматриваемой стохастической системы с имеющимися в его распоряжении результатами наблюдения, сопровождаемая количественной оценкой степени достоверности получае­мого вывода, осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.

 Скачать реферат