Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Отображение при любом называют отображением за период, или отображением Пуанкаре для системы . Областью определения отображения Пуанкаре является множество всех тех er=0 width=13 height=15 src="images/referats/11730/image029.png">для которых решение системы определено при всех .

Общий принцип.

Для того, чтобы продолжимое на решение системы было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка была неподвижной точкой отображения Пуанкаре .

Необходимость очевидным образом следует из периодичности решения .

Достаточность. Пусть есть неподвижная точка отображения за период . Это означает, что

Функция определена на некотором множестве, содержащем отрезок , и в силу периодичности системы является решением системы . Согласно оба решения и при совпадают. Так как решения системы однозначно определяются своими начальными условиями, то

.

Теорема доказана.

Таким образом, если при каком-то удаётся отыскать отображение за период , то из уравнения будут найдены начальные данные всех периодических решений.

Создаётся впечатление, что отображение Пуанкаре можно найти только зная общее решение дифференциальной системы.

Для отыскания отображения Пуанкаре (отображение за период) можно использовать некоторые вспомогательные функции, которые не совпадая с общим решением во всей области существования решения, совпадают с ним на гиперплоскостях, отличающихся на период. Если такая функция будет найдена, то будет найдено и отображение за период.

В.И. Мироненко в качестве такой функции использовал функцию [2,3], которую назвал отображающей функцией. При известной отображающей функции периодической дифференциальной системы отображение за период определяется формулой

В дальнейшем будем полагать , где половина периода.

Приведём теперь известные факты об отражающей функции [3,4].

§2. Общие сведения об отражающей функции

Рассмотрим систему

,

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначим через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

для любого решения системы верно тождество

для отражающей функции любой системы выполнены тождества

дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

 Скачать реферат