Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Достаточность. Пусть теперь система имеет не зависящее от решение, для которого уравнение Пфаффа интегрируется одним соотношением . Тогда существует [6] такая функция , для которой

Поэтому

так как удовлетворяет первому уравнению системы . Из тождества следует достаточность.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Пусть система имеет линейно независимых при каждом решений

, ,

для которых соответствующие уравнения Пфаффа

интегрируется с помощью соотношений .

Тогда представляют собой независимых стационарных интегралов системы .

Доказательство. Согласно теореме 4.2 функции являются первыми интегралами системы . Покажем, что они независимы. Отметим, что для каждой функции существует функция , для которой

Поэтому матрица Якоби имеет вид

Из линейной независимости векторов , при каждом следует, что при всех ранг матрицы Якоби равен . Поэтому функции , , являются независимыми [7, c.682].

Теорема доказана.

Теорема 4.4. Пусть выполнены все условия теоремы 4.1 и существует некоторое при котором уравнение Пфаффа

не вырождается в тождество и интегрируется одним соотношением . Тогда функция является независимым стационарным первым интегралом системы . Всякий другой стационарный первый интеграл зависит от .

Доказательство. Так как уравнение не вырождается в тождество, то для функций , переменного при фиксированном выполнены все условия примечания к теореме 1 §1 [2, с 13]. На основании этого примечания функции линейно зависимы. Соответствующие коэффициенты могут быть найдены путём разложения по элементам первой строки определителя

Эти коэффициенты образуют единственное с точностью до множителя решение системы , которому соответствует уравнение Пфаффа вида . Ссылка на теорему 4.3 завершит доказательство.

§5. Способ построения дифференциальных систем, эквивалентных стационарным системам

Как известно исследованию стационарных дифференциальных систем посвящено огромное число работ. Это объясняется тем, что эти системы во многих отношениях являются более просто исследуемыми, чем неавтономные системы. Благодаря этому целесообразно использовать для изучения дифференциальных неавтономных систем стационарные системы, если удаётся установить одинаковость качественного поведения решений этих систем. Такая эквивалентность в поведении решений может быть установлена с использованием метода отражающей функции. Когда две системы имеют одну и ту же отражающую функцию, то качественное поведение решений этих систем одинаково, т.е. периодические решения остаются таковыми, ограниченные - ограниченными, устойчивые - устойчивыми. В этом параграфе с использованием [1] и понятия первого интеграла системы показана возможность построения дифференциальных систем, эквивалентных данной (стационарной).

 Скачать реферат