Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Рефераты / Математика / Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Пусть имеется дифференциальная система

с правой частью, удовлетворяющей теореме существования и единственности. Предположим, что функция является первым интегралом с

истемы .

Теорема 5.1. Дифференциальная система

в которой нечётная скалярная функция, а функция является непрерывно дифференцируемой функцией, имеет ту же отражающую функцию что и система

Доказательство. Правую часть системы обозначим . Положим, и покажем, что функция удовлетворяет уравнению

Находим . Подставим эти выражения в левую часть уравнения . Получим

Выражение в силу определения интеграла системы и, следовательно, функция действительно удовлетворяет уравнению . Согласно теореме 2 [см.5] системы и эквивалентны.

Из теоремы вытекают следующие замечания:

Замечание 5.1. Известно, что если дифференциальная система эквивалентна некоторой стационарной, то она эквивалентна и системе [3, с.24; 4, с.79]. Положив , и используя утверждение теоремы 5.1, мы построим нестационарную дифференциальную систему, эквивалентную .

Замечание 5.2 Особый интерес представляет построение нестационарных систем, эквивалентных хорошо исследованной стационарной. Приведём пример такого построения. Как известно исследованию стационарных дифференциальных систем посвящено огромное количество работ. Это объясняется тем, что эти системы во многих отношениях являются более просто исследуемыми чем неавтономные системы. Если различные дифференциальные системы имеют одну и ту же отражающую функцию, то значит они имеют одно и то же отображение за период в том случае, когда эти системы периодичны. При этом следует учитывать, что качественное поведение решений дифференциальных систем с одной и той же отражающей функцией одинаково.

Рассмотрим дифференциальную систему