Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - потому, что для отражающей функции системы верно тождество eight=21 src="images/referats/11730/image128.png">, второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы .

Теорема доказана.

Следствие3.1. Пусть функции являются решениями дифференциального уравнения в частных производных . Тогда все дифференциальные системы вида

где нечетные скалярные непрерывные функции, такие, что ряд сходится к непрерывно дифференцируемой функции, эквивалентны между собой в смысле совпадения отражающих функций и все они эквивалентны дифференциальной системе .

Доказательствоследствия очевидно и сводится к последовательному применению теоремы 3.1

Замечание 3.1. В [2, с.24] доказано, что правая часть стационарной дифференциальной системы, эквивалентной дифференциальной системе в смысле совпадения отражающих функций, если такая система существует, может быть найдена по формуле Учитывая этот факт и сформулированное выше следствие, для нас важно установить, когда вектор-функция может быть представлена в виде

где решения уравнения . Последующие рассмотрения направлены на решение этой задачи. Решив ее, мы сможем заменить изучение свойств решений нестационарных систем изучением свойств решений стационарных систем вида или, если угодно, использовать уже изученные стационарные системы для изучения нестационарных систем.

§4. Стационарный интеграл

Рассмотрим систему

,

с непрерывной в области функцией .

Дифференцируемая функция , заданная в некоторой подобласти области , называется первым интегралом системы в области , если для любого решения , , системы , график которого расположен в функция , , постоянна, т.е. зависит только от выбора решения и не зависит от .

Пусть , есть некоторая функция. Производной от функции в силу системы назовем функцию , определяемую равенством

Лемма 4.1. Для любого решения , , системы , график которого расположен в , имеет место тождество

.

Доказательство. Действительно,

Лемма 4.2. Дифференцируемая функция , представляет собой первый интеграл системы тогда и только тогда, когда производная в силу системы тождественно в обращается в нуль.

 Скачать реферат