Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Тогда используя тождества и . и основное соотношение для отражающей функции , получим тождества

из которых следует, что всякая система, для которой есть отражающая функция, может быть записана в виде .

Достаточность. Пусть в системе есть такая функция, для которой решение системы однозначно определяется своими начальными данными. Тогда, в чём можно убедиться подстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции . Поэтому, согласно третьему свойству отражающей функции, функция является отражающей функцией системы .

Теорема доказана.

Т.о. варьируя вектор-функцию мы получим все системы имеющие заданную отражающую функцию.

У эквивалентных систем одинаковое количество периодических решений, т.к начальные данные периодических решений определяются из уравнения , где половина периода правой части соответствующих дифференциальных систем.

Пусть известно, что системы и

принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна из этих систем, скажем, система является периодической. Тогда если решения и систем и соответственно продолжимы на отрезок , то , хотя система может быть непериодической. Откуда следует

Теорема 2.2. Пусть система с периодической по правой частью и система принадлежат одному классу эквивалентности, а их решения существуют при всех . Тогда между периодическими решениями системы и решениями двухточечной задачи для системы можно установить взаимооднозначное соответствие.

Уравнения

например, принадлежат одному классу эквивалентности с отражающей функцией . Единственное периодическое решение

первого уравнения соответствует единственному решению задачи второго уравнения.

§3. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции

Наряду с дифференциальной системой

будем рассматривать множество систем

где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему назовём возмущённой, а добавку возмущением. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем и .

Как известно, отражающая функция системы обязана удовлетворять следующему соотношению

Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Справедлива [4]

Лемма 3.1. Для любых трёх вектор-функций

 Скачать реферат