Решение заданий по высшей математике

Матрица А составленная из коэф. При неизв.

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n

an1 an2 … ann

>

Заметим, что левую часть системы можно

Получить как произведение матриц

Используя понятия равенства

матриц, систему моно

А· x = запис. В виде А*х=В (1)

Уравнение (1) называют

Матричным уравнением, если

Определитель матрицы А отл.

От нуля, то сущ. Матр. А-1

Обратная от матрицы А.

Умножим обе части уравн.(1)

Слева на А-1 получим:

А-1 *А*х= А-1 *В; А-1 *А*х=Е.

Е*х= А-1 *В; Е*х=х

Х= А-1 *В

Если матричное уравнение имеет вид х*А=В, то его решение можно легко найти по форм. Х= А-1 *В

6. Комплексные числа. Мнимая единица. Форма записи

Комплексным числом zназывается выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Числа и называются комплексно – сопряженными.

Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. A(a,b)

B

a

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

5 Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений, в к-й число уравн. Неравно числу содерж. Перем.

,

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Отметим преобразования, к-е переводят систему уравнений в равносильную ей:

1. перемена местами 2-х любых уравнений

2. умножение обеих частей любого уравнения на произв. Число отличное от нуля

3.прибавление к одному Ур. Др., умнож. На любое число отличное от нуля

В рузультате таких преобр., называемы елемент. Получ. Сист, имеющ.такое же реш., что и первонач.

Для исслед. Сист. Общ вида удобно исп. Метод Гаусса

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем:1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения; 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д.Получим:, где d1j = 1j/a11, j = 2, 3, …, n+1 dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.Составим расширенную матрицу системы.* = Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.Пример. Решить систему методом Гаусса.Составим расширенную матрицу системы.Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.Для самостоятельного решения:Ответ: {1, 2, 3, 4}.

7. Операции с комплексными числами

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.1) Сложение и вычитание.

;;2) Умножение.

В тригонометрической форме:,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

 Скачать реферат