Решение заданий по высшей математике

Вывод уравнения окружности:

обозначим через М (х, у) произвольную точку линии;

запишем равенством общее свойство всех точек линии;

входящие в это равенство отрезки выразим через текущие координаты (х, у) точки М и другие параметры задачи.

Фигура окружность.

Общее свойство |ОМ| = R.

Ö(х2+ у2) = R.

х2+ у2 = R2.

Эллипс - это геометрическое место точек M(x;y), с

умма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем уравнение эллипса. Пусть, согласно определени Легко проверить (по известной из школы формуле расстояния между двумя точками), что верны следующие равенства:

Поэтому из равенства r1+r2=2a получаем:

или (a2-c2)x2+a2y2 = a2(a2-c2), а так как a>c (или 2a>2c в треугольнике MF2F1), то a2-c2>0. Обозначим b2=a2-c2, тогда получим b2x2+a2y2 = a2b2, или соотношение вида:

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, величины r1 и r2 - фокальные радиусы точки M(x;y), F1, F2 - фокусы эллипса, x=0, y=0 - оси симметрии, величина 2a - большая ось, 2b - малая ось, 2c=|F1F2| - фокусное расстояние, величина - эксцентриситет эллипса.

ю эллипса, r1+r2= |F2M| + |F1M| =2a-const.

18. 1)Угол между плоскостями

Рассмотрим 2 плоск. a и b, заданных уравнениями

Требуется найти угол j между этими плоскостями.

Углом j м/у двумя плоскостями будем наз-ть один из 2-х гранных углов, образованных этими плоскостями.

Замечание:

1. a^b,n1^n2Û n1· n2=0.

2. a½½ bÛ n1½½n2

2) расстояние от точки до плоскости

15. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве. Уравнение сферы

Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz, то точка A пространства, имеющая координаты x (абсцисса), y (ордината) и z (аппликата), обозначается A(x,y,z).

Расстояние d между двумя точками A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2) определяется по формуле:

В частности, расстояние d точки A(x,y,z) от начала координат определяется по формуле .

Пусть отрезок AB, соединяющий точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2) разделен точкой C(x0,y0,z0) на два отрезка AC и CB, причем . Тогда координаты точки C(x0,y0,z0), делящей отрезок AB в отношении (считая от A к B) определяется формулами

Координаты середины отрезка, т.е. когда или AC=CB можно вычислить по формулам

Уравнение сферы:

(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2

Множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению , где , , и --- заданные числа, есть сфера радиуса с центром , т.е. уравнение является уравнением сферы.

30. Понятие сложной и обратной функции

Сложная функция-функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х.

Обратная функция

Рассмотрим взаимнооднозначное соотв. у=¦(х), при к-м каждый элемент у яв-ся образом одного и только одного элемента х, тогда можно считать у аргументом вычислить соотв. знач. х, т.е. определить функцию х= f-1 (у) – к-я и будет наз-ся обратной

31. Четные, нечетные, периодические функции

Функция у = f (x) называется чётной, если она не меняется, когда независимое переменное изменяет только знак, то есть, если f (—x) = f (x). Если же f (—x)= — f (x),то функция f (x) называется нечётной. Например, у = cosx, у = x2— чётные функции, а = у sinx, у = x3— нечётные. График чётной функции симметричен относительно оси Оу, график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не удовлетворяющая данным соотношениям - функция общего вида

Замечание: следует заметить, что произведение 2-х четных, а также 2-х нечетных функ. Дает функ. четную, а произв. Четной на нечетную-нечетную.Например, у=x*sinx-четная, y=x*cosx-нечетная.

 Скачать реферат