Решение заданий по высшей математике

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и 0 width=30 height=16 src="images/referats/11740/image130.png">.

Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или, .е.где М = e + ïАïТеорема доказана.

41. Второй замечательный предел

Это форма второго замечательного предела, справедлива и для действ. аргумента

lim(n®¥)(1+1/n)n=e

27. Смешенное произведение векторов его св-ва и вычисления.

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .Обозначается или (, ,). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойствасмешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если: а)хоть один из векторов равен нулю;б)два из векторов коллинеарны;в)векторы компланарны.

2)3)

4)5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен6)Если , , тоПример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение полученных векторов:,Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).Найдем координаты векторов: Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания CD.

Sосн = (ед2)Т.к. V = ; (ед)

22. Линейной зависимость векторов

Вектор а1,а2,…аn наз-ся линейнозависимым, если сущ. Числа l1, l2,… ln не все равные нулю, для к-х справедливо равенство:

l1а1+lа2+…lnаn=0.

Если векторы линейнозависимы, то один из них можно представить виде линейной комбинации остальных.

Справедливо и обратное утверждение.

Векторы а1,а2,…аn наз-ся линейнонезавис., если l1а1+lа2+…lnаn=0.

Имеет место только при условии l1=l2=…=ln=0.

Теорема:Всякие 3 вектора а,b и с на пл. ленейнозависимы

Следствие: если число векторов на пл. больше 3-х, то они всегда линейнозависимы

Теорема: 2 вектора на пл. линейноз.Û когда они неколлинеарны.

Теорема: всякие 4 вектора а,b,с и d в простр. линейнозависимы.

Следствие:

1. если число данных веторов в простр. больше 4-х, то они линейноз.

2. для того, чтобы 3 вектора в простр. были компланарны, необх. И дост., чтобы они были линейноз. и наоборот.

3. для того, чтобы 3 вектора были линейно независимы необх. и дост., чтобы они были компланарны

23. Базис на пл. и в простр. Аффинные координаты

Базис - совокупн. линейнонезавис. векторов

Базис на плоскости – два любые неколлинеарные вектора, взятые в определенном порядке.

Базис в пространстве – три любые некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Пусть произв. Вектора a,b и c на пл. образуют базисÞ

a= l1b+l2c (1) Это выражение называют разложением вектора а по базису b и c, а числа l1,l2 наз-ся аффинными координатами вектора а и запис-ся: а={l1,l2}=(l1,l2) и такое разложение явл-ся единтсвенным. Аналогично, любой вектор а в пространстве однозначно разлагается по векторам b,c и d. а= l1b+l2c + l3d, а= (l1,l2,l3).

 Скачать реферат