Решение заданий по высшей математике

Выясним геометрический смысл операций умножения комплексного числа на вещественное. Пусть число изображается точкой , - вещественное число; изображается точкой . Тогда , . Таким образом, точка имеет координаты и, значит, (рис 4).

Геометрический смысл операции умножения на комплексное число мы выясним позже.В дальнейшем мы часто будем отождествлять комплексное число с точкой на комплексной плоскости, его изображающей. Так, например, мы будем говорить «точка» вместо более длинной фразы «точка, изображающая комплексное число».

34. Бесконечно малая и бесконечно большая величины.

Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.

П р и м е р . Функция y = является бесконечно малой при x,

cтремящемся к 4, так как

Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

Символ ( “бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при x, стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x < 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях x, это отражается в записи. Например, при x 0 функция y = x- 2 бесконечно большая, но она положительна как при x > 0, так и при x < 0 ; это выражается так:

Наоборот, функция y = - x - 2 всегда отрицательна, поэтому

В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так:

33. Числовые последовательности и пределы

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число то говорят, что задана числовая последовательность Кратко она обозначается символом называют n-м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.

Существует несколько способов задания числовых последовательностей.

Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру (например, ).

Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы, позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. К таковым относятся арифметическая и геометрическая прогрессии или, например, последовательность Фибоначчи, задаваемая формулой

и условиями x1 = 1, x2 = 1.

Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой xn равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числа π = 3,14159265358979323 ., задается следующим образом: x1 = 1, x2 = 4, x3 = 1, x4 = 5, x5 = 9, x6 = 2, x7 = 6, x8 = 5, x9 = 3, x10 = 5 и т. д.

Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство

т. е. При этом пишут, что или при n → ∞. Кратко это определение можно записать так:

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a.

Проще говоря, число a называется пределом последовательности {xn}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

Так, если то Действительно, выбрав для произвольного ε > 0 получаем , так как . Здесь существенно, что Nε зависит от ε.

Для стабилизирующейся последовательности (т. е. последовательности {xn} такой, что xn = a при n ≥ n0) в качестве Nε для любого ε можно взять n0.

 Скачать реферат