Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственнос

ти:

§ Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

§ Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья 1 и2 вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья 3 вида;

§ Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

Сформулируем экономико – математическую модель задачи.

Переменные:

х1- количество единиц продукции А,

х2- количество единиц продукции Б,

х3- количество единиц продукции В,

х4- количество единиц продукции Г.

Целевая функция: F=5х1+7х2+3х3+6х4 →max,

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

По 1 типу ресурса: 2х1+х2+3х3+2х4≤200,

По 2 типу ресурса: х1+2х2+4х3+8х4≤160,

По 3 типу ресурса: 2х1+4х2+х3+х4≤170,

По смыслу х1;х2;х3;х4 ≥0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решение означает, что максимальную выручку 460 ден ед, можем получит при выпуски 80 ед продукции А и 10 ед продукции Г. При это ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 200 ед сырья 1 типа будет использоваться 180 ед сырья.

Сформулируем экономико–математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функция двойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b1*y1+b2*y2+…→min

G=200у1+160у2+170у3→min

Ограничения:

Вы исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

a11*y1+a12*y2+…≥c1

a12*y1+a22*y2+…≥c2

по виду продукции А: 2у1+у2+2у3≥5,

по виду продукции Б: у1+2у2+4у3≥7,

по виду продукции В: 3у1+4у2+у3≥3,

по виду продукции Г: 2у1+8у2+у3≥6

по смыслу у1; у2; у3≥0

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- yi*(∑aij*xj-bi)=0 и xj(∑aij*yi-cj)=0,

у1*(2х1+х2+3х3+2х4-200)=0 → у1(2*80+0+3*0+2*10-200)=0 180<200, то у1=0

у2*(х1+2х2+4х3+8х4-160)=0 → у2(80+2*0+4*0+8*10-160)=0 ,

у3*(2х1+4х2+х3+х4-170)=0 → у3*(2*80+4*0+0+10-170)=0.

В нашей задачи х1=80>0 и х4=10>0, поэтому первое и четвертое ограничение двойственной задачи обращаются в равенство:

2у1+у2+2у3=5,

2у1+8у2+у3=6,

у1=0,

у2+2у3=5,

8у2+у3=6,

Выразим через у2=5-2у3,

8*(5-2у3)+у3=6,

40-16у3+у3=6

-15у3=-34,

у3=34/15,

у2=5-2*34/15=7/15,

у1=0; у2=7/15; у3=34/15

G=200*0+160*7/15+170*34/15=460

Проверим выполняемость первой теоремы двойственности:

Fmax=Gmin=460

В нашей задачи в план выпуска не вошла продукция Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3 ден ед (10-7=3) и 1,133 ден ед (4,1333-3=1,133) соответственно.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения у:

2*0+7/15+2*34/15=5=5,

0+2*7/15+4*34/15=10≥7,

3*0+4*7/15+34/15=4,133≥3,

2*0+8*7/15+34/15=6=6.

Так как запас ресурсов 1, 2 типа сырья изменяться на 8 и 10 единицы (увеличиться) и 3 типа уменьшаться на 5 единиц. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшению F.

F=∆bi*yi

F=8*0+10*7/15+(-5)*34/15=-6,667, следовательно, увеличение запасов ресурсов 1 и 2 типа на 8 и 10 ед. и уменьшение 3 типа на 5 ед приведет к уменьшению значения целевой функции на -6,667 ден ед.

По условию задачи для изготовления изделия Д используется:

Сырье 1 типа а*1=2,

Сырье 2 типа а*2=2,

Сырье 3 типа а*3=2

Ожидаемая прибыль от данного изделия Д с*=10 ден ед.

Для оценки целесообразности продукта Д, рассчитаем чистый доход

е=с*-∑а*i*yi

е=10-(2*0+2*7/15+2*34/15)=4,533

следовательно, целесообразно включать в план изделие Д, т.к. е=4,533>0.

3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

 Скачать реферат