Методы, способы, приемы решения физических задач

рис.21

Применим такой же приём, но с другим повторяющимся элементом цепи (рис.21, б).

RX = (2R+RX) R/ [ (2R+RX) +R] = (2R+RX) R/ (3R + RX)

или RX2+2RRX-2R2=0.

Решив это квадратное уравнение, получим значение эквивалентного сопротивления данной бесконечной цепи: RX=R (31/2-1).

Шаговый (реку

ррентный) метод расчёта эквивалентного сопротивления электрической цепи.

Данный метод удобен в том случае, когда схема представляет собой некоторое число повторяющихся структурных элементов. Этот метод основан на том, что результат первого действия (шага) используется во втором, второй - в третьем и т.д. Число шагов зависит от числа повторяющихся структурных элементов.

Задача: Найти сопротивление цепи, изображённой на рис.22.

рис.22

Для решения задачи изобразим схему цепи в более удобном для расчётов и наглядном виде (рис.23а). Теперь видно, что цепь представляет собой три вложенных друг в друга групп резисторов, соединённых параллельно. Начинают пошаговое определение эквивалентных сопротивлений с самых внутренних элементов. Заменим резисторы R4, R5, R6 резистором R’, величину которого определим по формуле: R’=R4+R5R6 / (R5 + R6)

рис.23

В результате замены получим новую схему цепи (рис.23, б). Аналогично рассчитываем эквивалентное сопротивление резисторов R2, R3 и R’:

R’’=R2+R’R3/ (R’+R3).

В итоге получаем простую схему (рис.23, в), позволяющую определить сопротивление всей цепи Rобщ=R’’R1/ (R’’+ R1).

Задача: Найти сопротивление цепи АВ, изображённой на рис.24

рис.24

Расчёт эквивалентного сопротивления цепи АВ начинаем слева. Эквивалентное сопротивление участка цепи АС равно R, т.к. здесь включены параллельно два одинаковых сопротивления 2R. Участок АС соединён последовательно с сопротивлением R. Сопротивление верхней ветви участка АD равно 2R. Т.к. эта ветвь параллельна сопротивлению 2R, то общее сопротивление участка цепи АD равно R. Участок цепи AD соединён последовательно с участком DB, сопротивление которого равно R, поэтому эквивалентное сопротивление верхней ветви цепи АВ равно 2R. Поскольку это сопротивление параллельно сопротивлению 2R нижней ветви цепи АВ, то общее сопротивление цепи АВ равно R.

Метод объединения равнопотенциальных узлов.

Этот метод позволяет упрощать схемы электрических цепей путём объединения узлов, имеющих равные потенциалы в один узел.

Задача: Найти сопротивление цепи АВ, изображённой на рис.25, а.

рис.25

Так как сопротивление подводящих проводов считается равным нулю, то точки А и D, соединённые проводником имеют одинаковый потенциал, то же можно сказать и о потенциалах точек В и С. Объединив точки А и D в один узел и, сделав то же самое с точками В и С, получим простую схему из трёх параллельно соединённых резисторов (рис.25, б). общее сопротивление цепи определим по формуле: 1/Rобщ=1/R1+1/R2+1/R3,откуда Rобщ=R1R2R3/ (R1R2+R2R3+ R1R3).

Задача: Найти сопротивление цепи, изображённой на рис.26, а, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R.

рис.26

Потенциалы точек 1 и 3 одинаковы, поэтому их можно объединить в одну, то же самое можно сделать с точками 2 и 5, 4 и 6. В результате получится видоизменённая упрощённая схема (рис.26, б).

Резисторы R12 и R23 соединены параллельно, следовательно, их общее сопротивление равно R/2. Точно также общее сопротивление резисторов R45 и R56 равно R/2. Общее сопротивление части цепи параллельной R34 равно R/2 + R/2 = R, поэтому сопротивление всей цепи будет равно R/2.

4.6.4 Метод разделения узлов.

Метод разделения узлов схемы основан на том, что, если возможно объединение двух узлов, имеющих равные потенциалы, то возможен и обратный переход: узел схемы можно разделить на две или несколько точек, если получившиеся при этом точки имеют прежние одинаковые потенциалы.

Задача: Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис.27) сопротивлением R каждый.

рис.27

Разделим узел О на две точки, получив два варианта электрической цепи (рис.28, а) и (рис.28, б). В первом случае потенциалы точек О’ и О’’ не равны., Если потенциал точки А больше потенциала точки В, то потенциал точки О’ больше потенциала точки О’’ и наоборот. Потенциалы же точек О1 и О2 равны, так как находятся в одинаковых условиях (полностью симметричны). Отсюда следует, что верным является разделение узла О, показанное на рис.28, б. Эквивалентная схема цепи, полученная после разделения узла О, изображена на рис.28, в. Отсюда общее сопротивление цепи между точками А и В равно 3R/2.

рис.28

Задача: Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис.29, а) сопротивлением R каждый.

Единственно верным способом разделения узла О на отдельные точки О1, О2 и О3 является способ, изображённый на рис.29, б. Эквивалентное сопротивление участков (cd) и (ef) будет равноRcd=Ref=2RR/ (2R+ R) =2R/3.

рис.29

Эквивалентное сопротивление участка АО1В равно 2R. Эквивалентная схема цепи, полученная после разделения узла О, изображена на рис.29, в. Общее сопротивление цепи определим по формуле:

1/Rобщ=3/8R+3/8R+1/2R=5/4R, откуда Rобщ = 4R/5.

Метод преобразования и расчёта цепей с помощью перехода "звезда" - "треугольник".

Этот метод основан на том, что схему, имеющую три узла, можно заменить другой, с тем же числом узлов. При этом сопротивление участка между двумя любыми узлами новой схемы должно быть равно сопротивлению заменяемого участка. В результате получается схема, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, то такую замену проводят в тех случаях, когда не нужно находить распределение токов.

рис.30

Рассмотрим преобразование схем, имеющих три вывода (трёхполюсников).

Это преобразование называется преобразованием "звезды" (рис.30, а) в "треугольник" (рис.30, б), и наоборот.

В "звезде" сопротивление между точками 1 и 2 равно r1 + r2, в "треугольнике" R12 (R13 + R23) / (R12 + R13 + R23). Следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо выполнение равенства: