Многомерный статистический анализ

поскольку число оцениваемых параметров m=2.

Почему эта формула отличается от приведенной в первом пункте? Там в знаменателе n, а здесь - (n-2). Дело в том, что в первом пункте рассмотрена непараметрическая теория при большом объеме данных (при , а при безграни

чном возрастании n разница между n и (n-2) сходит на нет.

А вот при подборе вида модели знаменатель дроби, оценивающей остаточную дисперсию, приходится корректировать на число параметров. Если этого не делать, то придется заключить, что многочлен второй степени лучше соответствует данным, чем линейная функция, многочлен третьей степени лучше приближает исходные данные, чем многочлен второй степени, и т.д. В конце концов доходим до многочлена степени (n-1) с n коэффициентами, который проходит через все заданные точки. Но его прогностические возможности, скорее всего, существенно меньше, чем у линейной функции. Излишнее усложнение эконометрических моделей вредно.

Типовое поведение скорректированной оценки остаточной дисперсии

в зависимости от параметра m в случае расширяющейся системы эконометрических моделей выглядит так. Сначала наблюдаем заметное убывание. Затем оценка остаточной дисперсии колеблется около некоторой константы (теоретического значения дисперсии погрешности).

Поясним ситуацию на примере эконометрической модели в виде многочлена

Пусть эта модель справедлива при При в скорректированной оценке остаточной дисперсии учитываются не только погрешности измерений, но и соответствующие (старшие) члены многочлена (предполагаем, что коэффициенты при них отличны от 0). При имеем

Следовательно, скорректированная оценка остаточной дисперсии будет колебаться около указанного предела. Поэтому в качестве оценки неизвестной эконометрику степени многочлена (полинома) можно использовать первый локальный минимум скорректированной оценки остаточной дисперсии, т.е.

В работе [3] найдено предельное распределение этой оценки степени многочлена.

Теорема. При справедливости некоторых условий регулярности

где

Таким образом, предельное распределение оценки m* степени многочлена (полинома) является геометрическим. Это означает, в частности, что оценка не является состоятельной. При этом вероятность получить меньшее значение, чем истинное, исчезающе мала. Далее имеем:

Разработаны и иные методы оценивания неизвестной степени многочлена, например, с помощью многократного применения процедуры проверки адекватности регрессионной зависимости с помощью статистики Фишера (см. работу [3]). Предельное поведение оценок - таково же, как в приведенной выше теореме, только значение параметра иное.

Линейный и непараметрические парные коэффициенты корреляции. Термин "корреляция" означает "связь". В эконометрике этот термин обычно используется в сочетании "коэффициенты корреляции".

Рассмотрим способы измерения связи между двумя случайными переменными. Пусть исходными данными является набор случайных векторов Коэффициентом корреляции, более подробно, линейным парным коэффициентом корреляции К. Пирсона называется (см. приложение 1 в конце настоящей книги)

Если rn = 1, то причем a>0. Если же rn = -1, то причем a<0. Таким образом, близость коэффициента корреляции к 1 (по абсолютной величине) говорит о достаточно тесной линейной связи.

Коэффициенты корреляции типа rn используются во многих алгоритмах многомерного статистического анализа эконометрических данных. В теоретических рассмотрениях часто считают, что случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Распределения реальных данных, как правило, отличны от нормальных (см. главу 4). Почему же распространено представление о многомерном нормальном распределении? Дело в том, что теория в этом случае проще. В частности, равенство 0 теоретического коэффициента корреляции (см. приложение 1) эквивалентно независимости случайных величин. Поэтому проверка независимости сводится к проверке статистической гипотезы о равенстве 0 теоретического коэффициента корреляции. Эта гипотеза принимается, если , где- некоторое граничное значение, зависящее от объема выборки n и уровня значимости .

Если случайные вектора независимы и одинаково распределены, то выборочный коэффициент корреляции сходится к теоретическому при безграничном возрастании объема выборки:

(сходимость по вероятности).

Более того, выборочный коэффициент корреляции является асимптотически нормальным. Это означает, что

где - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, а - асимптотическая дисперсия выборочного коэффициента корреляции. Она имеет довольно сложное выражение, приведенное в монографии [4, с.393]:

Здесь под понимаются теоретические центральные моменты порядка k и m, а именно,

(см. приложение 1 в конце книги).

Для расчета непараметрического коэффициента ранговой корреляции Спирмена необходимо сделать следующее. Для каждого xi рассчитать его ранг ri в вариационном ряду, построенном по выборке Для каждого yi рассчитать его ранг qi в вариационном ряду, построенном по выборке Для набора из n пар вычислить (линейный) коэффициент корреляции. Он называется коэффициентом ранговой корреляции, поскольку определяется через ранги. В качестве примера рассмотрим данные из табл.2 (см. монографию [5]).

 Скачать реферат