Математические методы в решении экономических задач

Х1 = 207 + Х5 – Х4 => Х1 = 63 + Х5 - Х4

Подставляя это выражение в остальные уравнения и в линейную форму, получим:

eight=112 src="images/referats/5479/image056.png">Х1 = 63 + Х5 - Х4

Х2 = 120 - (63 + Х5 - Х4) - Х5 = 111 - Х5 - Х4

Х3 = 510 - (63 + Х5 - Х4) + Х5 = 213 - Х5 + Х4

Х1 = 63 + Х5 - Х4

Х3 = 213 - Х5 + Х4

F = 5880 + 23(63 + Х5 - Х4) - 7 Х5 = 7329 - 2 Х5 - 7 Х4

Так как в выражение линейной формы переменные Х4 и Х5 входят с отрицательным коэффициентами, то никакое увеличение F за счет этих переменных невозможно.

Следовательно, на III шаге критерий оптимальности достигнут и задача решена. Оптимальным служит решение (63;111;213;207;0), при котором Fmаx= 7329.

Таким образом, для получения наибольшей прибыли, равной 7329 ден. ед., из данных запасов сырья предприятие должно изготовить 63 вида изделий А1 и 111изделий вида А2.

Ответ: Х1* = 63; Х2* = 111. Fmаx= 7329.

Решить задачу табличным симплексным методом

Рассмотренный симплексный метод решения ЗЛП в предыдущем пункте можно свести к записи однотипно заполняемых таблиц. Осуществить это возможно, придерживаясь следующего алгоритма:

Привести задачу линейного программирования к каноническому виду.

Найти начальное опорное решение с базисом из единичных векторов и коэффициенты разложений векторов условий по базису опорного решения. Если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

Вычислить оценки разложений векторов условий по базису опорного решения и заполнить симплексную таблицу.

Если выполняется признак единственности оптимального решения (для любого вектора условий, не входящего в базис, оценка отлична от нуля), то решение задачи заканчивается.

Если выполняется условие существования множества оптимальных решений (оценка хотя бы одного вектора условий, не входящего в базис, равна нулю), то путем простого перебора находят все оптимальные решения.

Если выполняются условия отсутствия оптимального решения вследствие неограниченности целевой функции (не имеет решения, если для какого-либо из векторов условий с оценкой, противоречащей признаку оптимальности, среди коэффициентов разложения по базису опорного решения нет положительного), то задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции.

Если пункты 4-6 алгоритма не выполняются, находят новое опорное решение с использованием условий нахождения оптимального решения.

Составим математическую модель задачи. Искомый выпуск продукции А1 обозначим через Х1, продукции А2 – Х2. Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд сырья каждого вида, переменные Х1, Х2 должны удовлетворять следующей системе неравенств:

5Х1+2Х2 ≤ 750

Х1+7Х2 ≤ 840

Х1≥0, Х2≥0

Общая стоимость произведенной предприятием продукции при условии выпуска Х1изделий А1 и Х2 изделий А2 составляет F = 30Х₁ +49Х₂

По своему экономическому содержанию переменные Х1 и Х2 могут принимать только лишь неотрицательные значения: Х1, Х2 ≥0.

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений системы неравенств (1.1) требуется найти такое, при котором функция F = 30Х₁ +49Х₂ принимает максимальное значение.

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений:

5Х1+2Х2+Х3 = 750

Х1+7Х2+Х5 = 840

Хi≥0, i=1….5

Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного вида. Например, Х3 — это неиспользуемое количество сырья 1-ого вида и т.д.

Для решения задачи табличным симплексным методом прежде всего нужно найти любое базисное решение. В данном случае это легко сделать. Для этого достаточно взять в качестве базисных добавочные переменные Х3, Х4, Х5.,а в качестве свободных переменные Х1 и Х2 равными нулю, получим базисное решение (0; 0; 750; 807; 840), которое к тому же оказалось допустимым. F = 30Х₁ +49Х₂ => F - 30Х₁ - 49Х₂ = 0

 Скачать реферат