Классическое вариационное исчисление. Уравнение Эйлера. Задача вариационного исчисления с подвижными границами

Задание 1

Найти допустимые экстремали в задаче классического вариационного исчисления:

(a)

Решение:

Составим уравнение Эйлера

;

Теперь считаем

производные подынтегральной функции по переменным x,, t.

Подставляем полученные значения в уравнение Эйлера

Мы получили неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-ого порядка.

Записываем характеристическое уравнение и ищем его корни

Поэтому общее решение ищем в виде

Теперь ищем частное решение:

);

Приравниваем правую и левую части

Находим неизвестные параметры методом неопределенных коэффициентов

Ответ: .

, , ;

Используем формулу:

Решение:

Составим уравнение Эйлера

.

Уравнение Эйлера принимает вид

Мы получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:

;

Поэтому общее решение ищем в виде

Подставляем начальные условия:

;

;

;

, ;

Подставляем полученные значения, и получаем следующий ответ:

.

Ответ: .

Задание 2

Найдите допустимые экстремали в задаче вариационного исчисления с подвижными границами:

, ,

Решение:

Составляем уравнение Эйлера

;

;

;

Уравнение Эйлера принимает вид

;

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

;

;

Решим данное уравнение последовательным интегрированием:

;

;

;

Определим неизвестную константу, воспользовавшись начальным условием:

;

x (T) =

Ответ:.

Задание 3

Решить задачу оптимального управления в форме Лагранжа:

Решение:

Записываем задачу в форме Лагранжа, для этого производим замену переменных:

Составляем функцию Гамильтона

Управление достигает своего оптимального значения, если функция Гамильтона достигает максимума.

Найдём такое управление, при котором H достигает max, т.к. управление u не имеет ограничений, воспользуемся достаточным признаком max.

= 0

Записываем сопряженную систему:

 Скачать реферат