Доверительный интервал, доверительная вероятность

Содержание

1. Введение

2. Основная часть

2.1.1Понятие о доверительных интервалах

2.1.2 Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии

2.1.3 Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии

2.1.4 Доверительный интервал для дисперсии нормаль

ной случайной величины

2.2 Генеральная совокупность

2.2.1 Построение доверительного интервала для генеральной средней по малой выборке

2.2.2 Построение доверительного интервала для генеральной доли по малой выборке

2.2.3 Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии

3. Заключение

Список литературы

1.Введение

На практике мы всегда имеем дело с ограниченным числом измерений, и задача, которая всегда стоит перед оператором, состоит в том, как оценить точность измерений, т.е. найти его меру приближения к истинному значению на основании группы результатов наблюдения.

В результате отдельных измерений мы получаем некоторые строго фиксированные результаты (точки) измеряемой величины. Их значения являются случайными с некоторым распределением. Случайная погрешность измерения образуется под влиянием большого числа факторов, сопутствующих процессу измерения. Важно зафиксировать отклонения и, при использовании полученных результатов, использовать подход, который будет учитывать такие флуктуации. Подходящим решением является введение понятий доверительного интервала и доверительной вероятности.

2. Основная часть

2.1.1 Понятие о доверительных интервалах.

После получения точечной оценки θ* желательно иметь данные о надежности такой оценки. Особенно важно иметь сведения о точности оценок для небольших выборок (поскольку с возрастанием объема п выборки несмещенность и состоятельность основных оценок гарантируется утверждениями математической статистики). Поэтому точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой — интервалом (θ1, θ 2), внутри которого с наперед заданной вероятностью γ находится точное значение оцениваемого параметра θ. Задачу определения такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал — доверительным интервалом. При этом γ называют доверительной вероятностью или надежностью, с которой оцениваемый параметр θ попадает в интервал (θ 1, θ 2).

Зачастую для определения доверительного интервала заранее выбирают число α = 1 — γ, 0< α < 1, называемое уровнем значимости, и находят два числа θ 1 и θ 2, зависящих от точечной оценки θ*, такие, что

Р(θ 1< θ < θ 2) = 1- α = γ. (1)

В этом случае говорят, что интервал (θ 1, θ 2) накрывает неизвестный параметр θ с вероятностью (1 - α), или в 100(1 - α)% случаев. Границы интервала θ 1 и θ 2 называются доверительными, и они обычно находятся из условия Р(θ < θ 1) = Р(θ > θ 2 ) = α/2 (рис. 1) [2].

Рисунок 1 – Распределение параметра θ

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки п и надежности γ (уровня значимости γ= 1 - α). При увеличении величины п длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности γ к единице — увеличивается. Выбор α (или γ = 1 - α) определяется конкретными условиями. Обычно используется α=0,1; 0,05; 0,01, что соответствует 90, 95, 99%-м доверительным интервалам.

Общая схема построения доверительного интервала:

1. Из генеральной совокупности с известным распределением f(x, θ) случайной величины X извлекается выборка объема п, по которой находится точечная оценка θ * параметра θ.

2. Строится случайная величина Y(θ), связанная с параметром θ и имеющая известную плотность вероятности f(у, θ).

3. Задается уровень значимости α.

4. Используя плотность вероятности случайной величины Y, определяют два числа с1 и с2 такие, что

. (2)

Значения с1 и с2 выбираются как правило, из условий

; .

Неравенство с1 < Y(θ) < с2 преобразуется в равносильное θ*- δ < θ < θ + δ такое, что Р (θ*- δ < θ < θ*+ δ ) = 1 – α [1].

Полученный интервал (θ *- δ < θ < θ *+ δ), накрывающий неизвестный параметр θ с вероятностью 1 - α, и является интервальной оценкой параметра θ.

Интервальная оценка также носит случайный характер, так как она напрямую связана с результатами выборки. Однако она позволяет сделать следующий вывод. Если построен доверительный интервал, который с надежностью γ = 1 - α накрывает неизвестный параметр, и его границы рассчитываются по К выборкам одинакового объема п, то в (1-α)К случаях построенные интервалы накроют истинное значение исследуемого параметра.

Поскольку в эконометрических задачах часто приходится находить доверительные интервалы параметров случайных величин, имеющих нормальное распределение, приведем схемы их определения.

2.1.2 Доверительный интервал для математического ожидания

нормальной случайной величины при известной дисперсии.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией σ2 и неизвестным математическим ожиданием M(Х~N(т, σ)). Построим доверительный интервал для т.

1. Пусть для оценки т извлечена выборка х1, х2, ., хп объема n. Тогда

2. Составим случайную величину . Нетрудно показать, что случайная величина u имеет стандартизированное нормальное распределение, т.е. u~N(0,1) ().

3. Зададим уровень значимости α.

4. Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

. (3)

Это означает, что доверительный интервал накрывает неизвестный параметр т с надежностью 1- α. Точность оценки определяется величиной[6].

Отметим, что число определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства(рис.2) [2].

 Скачать реферат