Доверительный интервал, доверительная вероятность

, где

В практике выборочного наблюдения математическое ожидание , как правило, неизвестно, и приходится иметь дело не с >, а с S2 или . Если Х1, X2, .,Xn — повторная выборка из нормально распределенной генеральной совокупности, то, как уже сказано выше, случайная величина (или ) имеет распределение 2 с ν = п—1 степенями свободы. Поэтому для заданной доверительной вероятности γ можно записать:

(13)

(графически это площадьпод кривой распределения и рис. 4).

Рисунок 4 – Кривая распределения 2

Очевидно, что значения и определяются неоднозначно при одном и том же значении заштрихованной площади. Обычно и выбирают таким образом, чтобы вероятности событий < и > были одинаковы, т. е.

.

Преобразовавдвойное неравенство в равенстве (13)к равносильному виду , получим формулу доверительной вероятности для генеральной дисперсии:

, (14)

а для среднеквадратического отклонения:

. (15)

При использовании таблиц вероятностей необходимо учесть, что поэтому условие

равносильно условию .

Таким образом, значения и находим из равенств:

, (16)

. (17)

Пример 7. На основании выборочных наблюдений производительности труда 20 работниц было установлено, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки составляет 15 м ткани в час. Предполагая, что производительность труда работницы имеет нормальное распределение, найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключены генеральные дисперсия и среднее квадратическое отклонение суточной выработки работниц.

Решение.

Имеем γ = 0,9; (1 - γ)/2 = 0,05; (1 +γ)/2 = 0,95.

При числе степеней свободы ν = n - 1=20 - 1=19 в соответствии с (16)и (17)определим и для вероятностей 0,95 и 0,05, т.е. = 10,1 и = 30,1. Тогда доверительный интервал для σ2 по (14)можно записать в виде:

или и для σ по (15):

или 12,2 < σ <21,1(м/ч).

Итак, с надежностью 0,9 дисперсия суточной выработки работниц заключена в границах от 149,5 до 445,6, а ее среднее квадратическое отклонение — от 12,2 до 21,1 метров ткани в час.

Таблицы составлены при числе степеней свободы ν от 1 до 30. При ν>30 можно считать, что случайная величина имеет стандартное нормальное распределение N(0; l). Поэтому для определения и следует записать, что

P()=Ф(t)=γ,

откуда и, после преобразований,

– таким образом, при расчете доверительного интервала надо полагать , .

Пример 8. Решить задачу, приведенную в примере 7, при п = 100 работницам.

Решение.

При Ф(t) = 0,9 t = 1,645, поэтому

Далее решение, аналогичное примеру 7, приводит к доверительным интервалам для σ2: 183,1<σ2 < 293,0 и для σ: 13,5< σ<17,1 (м/ч).

3. Заключение

В данной курсовой работе рассмотрено понятие доверительного интервала и его разновидности в метрологии.

Провести бесконечное число измерений для получения верного результата в реальной жизни невозможно, поэтому важно дать объективное представление результатов ограниченного числа измерений, чему и призван помочь изучаемый подход.

Цель любого оценивания состоит в получении наиболее точного значения исследуемой характеристики. Доверительный интервал позволяет с определенной точностью получить распределение параметра, что дает хорошее представление об исследуемом объекте.

Список литературы

1. Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математической статистики. – М.: Изд-во МГУ, ЧеРо, 1998. С. 114

 Скачать реферат