Доверительный интервал, доверительная вероятность

где

(11)

- предельная ошибка малой выборки. Доверительный интервал для генеральной средней, как и ранее, находится по формуле:

. (12)

Пример 5. Для контроля срока службы электроламп из большой партии было отобрано 17 электроламп. В результате и

спытаний оказалось, что средний срок службы отобранных ламп равен 980 ч, а среднее квадратическое отклонение их срока службы — 18 ч. Необходимо определить: а) вероятность того, что средний срок службы ламп во всей партии отличается от среднего срока службы отобранных для испытаний ламп не более чем на 8 ч (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний срок службы ламп во всей партии.

Решение.

Имеем по условию п = 20, = 980(ч), S = 18 ч.

а) Зная предельную ошибку малой выборки = 8 (ч), найдем из соотношения (9):

Теперь искомая доверительная вероятность

, а находится по таблице значений при числе степеней свободы = 16.

Итак, вероятность того, что расхождение средних сроков службы электроламп в выборке и во всей партии не превысит 8 ч (по абсолютной величине), равна 0,906.

б) Учитывая, что = 0,95 и t0,95;16 =2,12, по (11)найдем предельную ошибку малой выборки (ч). Теперь по (12)искомый доверительный интервал или (ч), т.е. с надежностью 0,95 средний срок службы электроламп в партии заключен от 970,5 до 989,5 ч.

2.2.2 Построение доверительного интервала для генеральной доли

по малой выборке.

Если доля признака в генеральной совокупности равна р то вероятность того, что в повторной выборке объема п т элементов обладают этим признаком, определяется по формуле Бернулли: , где q = 1 - р, т.е. распределение повторной выборки описывается биномиальным распределением. Так как при р≈0,5 биномиальное распределение несимметрично, то в качестве доверительного интервала для р берут такой интервал (p1, p2), что вероятность попадания левее р1 и правее p2 одна и та же и равна (1 - γ)/2:

,

где – фактическое число элементов выборки, обладающих признаком.

Рисунок 3 – Генеральная доля для γ=0,9

Решение таких уравнений можно упростить, если использовать специальные графики, позволяющие при данном объеме выборки п и заданной доверительной вероятности γ определить границы доверительного интервала для генеральной доли р. В качестве примера на рисунке 3 приведены такие графики для γ = 0,9.

Пример 6. Опрос случайно отобранных 15 жителей города показал, что 6 из них будут поддерживать действующего мэра на предстоящих выборах. Найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключена доля граждан города, которые будут поддерживать на предстоящих выборах действующего мэра.

Решение.

Выборочная доля жителей, поддерживающих мэра, w = т/п = 6/15 = 0,4 . По рисунку 3 для γ = 0,9 находим при w = 0,4 и для п = 15 по нижнему графику p1=0,23, а по верхнему — р2 = 0,60, т.е. доля жителей города, поддерживающих мэра, с надежностью 0,9 заключена в границах от 0,23 до 0,60. Очевидно, что более точный ответ на вопрос задачи может быть получен при увеличении объема выборки п.

2.2.3Построение доверительного интервала для генеральной

дисперсии.

Пусть распределение признака (случайной величины) X в генеральной совокупности является нормальным N(, 2). Предположим, что математическое ожидание М(Х) = (генеральная средняя) известно. Тогда выборочная дисперсия повторной выборки X1, X2, …, Xn:

,

ее неследует путать с выборочной дисперсией

и «исправленной» выборочной дисперсией

,

если S характеризует вариацию значений признака относительно генеральной средней , то и — относительно выборочной средней [3].

Рассмотрим статистику

Учитывая, M(Xi) =, D(Xi)=σ2 , (i = 1, 2, …, n) нетрудно показать, что М(t) = 0 и .

Выше отмечено, что распределение суммы квадратов п независимых случайных величин , каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0;l), представляет распределение 2 с ν = п степенями свободы.

Таким образом, статистика имеет распределение 2 с ν = п степенями свободы.

Распределение 2 не зависит от неизвестных параметров случайной величины X, а зависит лишь от числа степеней свободы ν.

Плотность вероятности распределения имеет сложный вид и интегрирование ее является весьма трудоемким процессом. Составлены таблицы для вычисления вероятности того, что случайная величина, имеющая 2 – распределение с ν степенями свободы, превысит некоторое критическое значение , т.е.

 Скачать реферат