Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Сопоставляя классу конечных групп решетки и можно изучать свойства групп из 17 src="images/referats/7441/image058.png">в зависимости от свойств решеток и .

Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда .

Доказательство. Если - канонический эпиморфизм на , то

Так как мы видим по определению подгрупповых функторов, что .

Лемма доказана.

Пусть - элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа имеет место , то наименьшее натуральное число с таким свойством называется порядком элемента . Говорят, что - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемент имеет порядок .

Пусть - простое число. Тогда группа называется элементарно абелевой -группой, если - абелева группа экспоненты .

Лемма 20.7. Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что .

Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда - бесконечная группа.

Пусть и , где для всех и . Пусть - подмножество в такое, что . И пусть , где и . Тогда ясно, что

Следовательно, .

Лемма доказана.

Напомним, что класс групп называется наследственным, если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.

Пусть - простое число, делящее порядок группы . Подгруппа группы называется силовской -подгруппой в , если и - степень числа . Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа в любой конечной группе с имеется силовская -подгруппа. Конечная группа называется -группой, если ее порядок является степенью числа .

Обозначим через - класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы

 Скачать реферат