Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Пусть и - мультипликативные группы. Отображение называется гомоморфизмом группы в группу , если для любых и .

Если - подмножество группы , то образ при гомоморфизме , а - образ гомоморфизма . Образ гомоморфизма также обозначают через .

Ядром гомоморфизма называется множество где - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении в единичный элемент группы .

Гомоморфизм называется мономорфизмом, если . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение - инъекция.

Если , то гомоморфизм называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае - сюръекция.

Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.

2. Используемые результаты

Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если - подгруппа группы и , то - подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид , где - подгруппа группы и ;

(3) отображение является биекцией множества Sна множество S;

(4) если S, то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа факторгруппы .

Лемма 1.2 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:

(1) единичный элемент группы переходит в единичный элемент группы , т.е. ;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е. для всех ;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е. ;

(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е. ;

 Скачать реферат