Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

Пусть - нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по п

одгруппе , т.е. . Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через .

Условимся через Sобозначать совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу . В частности, S= S- совокупность всех подгрупп группы , а S.

Каждая нормальная подгруппа группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е. для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в , то пишут ().

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Собственная подгруппа неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом, .

Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой.

Если - непустое подмножество группы и , то

Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то

 Скачать реферат