Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

Пример 4. Пусть - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы height=21 src="images/referats/7441/image231.png">.

Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Если - подгруппа группы , то символом обозначается мощность множества .

Пример 5. Пусть - простое число и пусть для любой группы система в нет такой подгруппы , что , - натуральное число, взаимнопростое с .

Покажем, что - подгрупповой функтор.

Действительно, пусть и . Предположим, что

где - натуральное число. Тогда - натуральное число и

Следовательно, , и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если

то . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если - некоторый класс конечных групп и , то - замкнутый подгрупповой функтор.

Пример 6. Пусть . И пусть для каждой группы множество совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Напомним, что подгруппа группы называется абнормальной в , если всегда из следует, что .

Пример 7. Пусть для любой группы множество совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 8. Пусть - произвольный класс групп. Подгруппа группы называется - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1) ;

2) и для любых двух подгрупп и из , где и - максимальная подгруппа в имеет место .

Легко видеть, если группа разрешима, то ее подгруппа абнормальна в тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .

 Скачать реферат