Построение неполной квадратичной регрессионной модели по результатам полного факторного эксперимента

.

Рис. 1. Схема метода крутого восхождения: I – y = b0 + b1x1 + b2x2 ; II – y = b'0 + b'1x1 + b'2x2

Найденные по результатам опытов коэффициенты b1 и b2 определяют направление градиента для данной аппроксимирующей плоскости, т. е. направление изменения

содержания алюминия и тантала в сплаве, приводящее к возможно более быстрому повышению прочности сплава. Сделав несколько опытов в этом направлении, т. е. осуществив крутое восхождение по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения (отсюда название метода), исследователь выбирает новую исходную точку S7, возле которой вновь проводит аналогичную серию из четырех опытов, рассчитывает коэффициенты нового линейного приближения теперь уже вблизи точки S7:

y = b'0 + b'1x1 + b'2x2

и осуществляет движение по градиенту этого уравнения. Движение по градиенту производят до попадания в область оптимума, после чего строят и анализируют нелинейную модель этой области. На рис. 1 градиент совпадает с прямой, перпендикулярной изолиниям, т. е. с самым крутым склоном, ведущим от данной точки к вершине. Для поверхности отклика, показанной на рис. 1, оказалось достаточно двух серий опытов, чтобы при крутом восхождении найти состав наиболее прочного сплава.

Даже рассмотренный пример показывает, что планирование эксперимента принципиально отличается от традиционного экспериментирования. При планировании используется многофакторная схема эксперимента, когда эффект влияния какого-либо фактора оценивается по результатам всех опытов. При традиционном экспериментировании (изменении одного фактора при постоянных остальных факторах) используется однофакторная схема, при которой эффект влияния фактора оценивается лишь по некоторой части опытов. Многофакторная схема существенно эффективней. Покажем это на простом примере.

Предположим, что необходимо определить массу трех образцов А, В и С. Рассмотрим два способа проведения эксперимента.

В первом случае схема взвешивания будет такой, как показано в табл. 1. Здесь первый опыт представляет собой холостое взвешивание, т. е. по сути дела, определение нулевого положения весов.

Следующие опыты – поочередное взвешивание каждого из образцов. Масса каждого образца оценивается по результатам только двух опытов: того опыта, в котором взвешивается обра­зец, и холостого взвешивания. Например, масса образца А = у2 - у1; образца В = у3 - у1; образца С = у4 - у1.

Схема взвешивания во втором случае показана в табл. 2.

Здесь в первом опыте взвешивают все три образца вместе (холостое взвешивание не производится), а в следующих опытах – каждый образец в отдельности. В этом случае массу каждого образца оценивают по результатам всех опытов. Действительно, масса образца ; образца ; образца .

Таблица 1

Схема однофакторного эксперимента по взвешиванию образцов А, В и С

Таблица 2

Схема многофакторного эксперимента по взвешиванию образцов А, В и С

Какой же из способов взвешивания лучше? Будем считать лучшим способом тот, который дает более высокую точность. Если воспользоваться законом сложения дисперсий, для первого способа взвешивания получим:

где – дисперсия результатов взвешивания образцов; Sy – среднеквадратичная ошибка взвешивания.

Для второго способа

Оказывается, второй способ обеспечивает точность вдвое выше по сравнению с первым, хотя общее число опытов в обоих случаях одинаково. Произошло это по вполне понятной причине. Первый способ взвешивания является традиционной схемой эксперимента – типичной однофакторной. Несмотря на то, что здесь всего было сделано четыре опыта, массу каждого образца определяли только по результатам взвешивания двух образцов. Второй же способ представляет собой схему многофакторного эксперимента. Здесь массу образца определяли по результатам всех опытов, а это и дает выигрыш в точности. Чтобы получить результаты с той же точностью при традиционном экспериментировании, придется повторить все опыты, т. е. проделать по сути дела вдвое большую работу. Легко показать, что с увеличением числа факторов эффектив­ность многофакторного эксперимента растет.

2. Исходные данные

В разделе “Исходные данные” следует привести факторный план эксперимента, который выдается в табличной форме в задании на самостоятельную работу, дать характеристику факторного плана по равномерности дублирования экспериментов в каждом опыте и дать краткое описание (расшифровку) факторного плана.

По равномерности дублирования экспериментов различают факторные планы с равномерным (табл. 3) и неравномерным дублированием. Под дублированием понимается не серия измерений в одном опыте (“несколько образцов на точку”), а полное повторение опыта: приготовление сплава заново, новое проведение всех технологических операций механической обработки образцов и их подготовки к испытаниям.

 Скачать реферат