Построение неполной квадратичной регрессионной модели по результатам полного факторного эксперимента

Рассчитаем коэффициенты в уравнении регрессии (6) по зависимостям (8) с учетом знаков Хi в столбцах табл. 5:

mg width=439 height=85 src="images/referats/9794/image047.png">

Таким образом, получены следующие значения коэффициентов уравнения регрессии:

b0 = 111,9; b12 = b4 = -13,14;

b1 = -11,03; b13 = b5 = 1,83;

b2 = 34,5; b23 = b6 = 4,13;

b3 = -0,7125; b123 = b7 = 14,89.

Если ввести обозначения b12 = b4; b13 = b5; b23 = b6; b123 = b7 и учесть обозначения, принятые в табл. 5, регрессионное уравнение (6) запишется в виде:

y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X4 + b5X5 + b6X6 + b7X7. (9)

5. Проверка статистической значимости коэффициентов регрессии

Коэффициенты регрессии, рассчитанные по уравнению (7), строго говоря, определены не точно, а с некоторой погрешностью. Мерой этой погрешности является дисперсия оценок коэффициентов. Неизбежное наличие погрешности в определении коэффициентов регрессии обусловлено колебаниями значений функции отклика при дублировании экспериментов в каждом опыте. С учетом этого уравнение (7) можно записать в следующем виде: Очевидно, что при достаточно малых значениях коэффициентов bi абсолютная погрешность их определения 2×Dbi, обусловленная погрешностью определения значений функции отклика, может оказаться недопустимо большой. В этом случае значение коэффициента следует признать статистически незначимым, а сам коэффициент исключить из регрессионной модели. Статистическая незначимость коэффициента означает отсутствие его влияния на исследуемый процесс.

Поскольку дублирование экспериментов равномерное, дисперсию оценок коэффициентов уравнения регрессии можно рассчитать по зависимости:

, (10)

где nu – количество дублей в каждом опыте (nu = 3); N – количество опытов (N = 8); - средняя дисперсия эксперимента.

Если ряд дисперсий однороден, средняя дисперсия эксперимента рассчитывается по уравнению:

, (11)

где - значения построчных дисперсий (табл. 4).

Если ряд дисперсий неоднороден (значения функции отклика в разных опытах определены с различной точностью), но в результатах измерений значений функции отклика отсутствуют грубые ошибки и промахи, в качестве средней дисперсии эксперимента принимается максимальная построчная дисперсия. В соответствии с данными табл. 4 максимальная построчная дисперсия получена в первом опыте: . Ее значение и принимаем как среднюю дисперсию эксперимента:. Тогда дисперсия оценок коэффициентов регрессии равна

Среднеквадратичная ошибка оценки коэффициентов регрессии определяется как:

. (12)

Для рассматриваемого случая

Рассчитаем доверительный интервал коэффициентов регрессии :

, (13)

где - критерий Стьюдента, зависящий от уровня значимости a и числа степеней свободы f2 при определении дисперсии эксперимента:

Для полного факторного эксперимента 23 f2 = (3-1)×8 = 16.

Выбрав уровень значимости a = 0,05, при числе степеней свободы f2 = 16 из табл. Б1 (приложение Б) найдем табличное значение критерия Стьюдента (t-критерия) t0,05;16 = 2,12. По выражению (13) рассчитаем доверительный интервал коэффициентов регрессии:

Коэффициенты уравнения регрессии, абсолютная величина которых равна доверительному интервалу или больше его, следует признать статистически значимыми. Т.е. для статистически значимых коэффициентов должно выполняться условие:

или . (14)

Условие (14) означает, что абсолютные значения статистически значимых коэффициентов регрессии bi должны не менее чем в раз превышать абсолютную ошибку их определения .

Статистически значимыми коэффициентами, точность оценки которых можно считать удовлетворительной, являются коэффициенты b0, b1, b2, b12 = b4, b13 = b5, b23 = b6 и b123 = b7.

Статистически незначимые коэффициенты (b3) из модели следует исключить, поскольку их значения не могут считаться достоверными.

Подставляя значения статистически значимых коэффициентов в выражение (9), получим следующее уравнение регрессии:

. (15)

6. Проверка адекватности модели

Процедура проверки адекватности модели сводится к выполнению ряда последовательных вычислений:

1. Расчет теоретических значений функции отклика в каждом опыте по уравнению (15).

2. Сопоставление расчетных и экспериментальных значений функции отклика и нахождение дисперсии неадекватности.

3. Расчет критерия Фишера и окончательный вывод на основе сопоставления его расчетного и табличного значений об адекватности или неадекватности модели.

С помощью полученного уравнения (15) определим расчетные значения функции отклика (удельной потери массы y). Все значения Хi в данное уравнение входят в кодовом масштабе. Например, в 4-м опыте х1 = +1, х2 = +1, х3 = -1, х4 = +1, х7 = -1 (табл. 3, 5). Тогда расчетное значение удельной потери массы в этом опыте будет равно:

у(4) = 111,9-11,03+34,5-13,14-1,83-4,13-14,89= 101,38 г/см2.

Подсчитанные таким образом значения удельной потери массы приведены в табл. 6. Данные табл. 4 будем использовать для определения дисперсии неадекватности. При равномерном дублировании экспериментов дисперсия неадекватности определяется по зависимости:

 Скачать реферат