Линейное программирование как метод оптимизации

Составить план производства, обеспечивающий получений максимальной прибыли.

Решение:

1. Формальная постановка задачи имеет следующий вид:

9X1 + 14X2 + 15 X3 + 10X4 → max

X1 + X2 + X3 + 2X4 ≤ 3

X1 + 2X2 + 3X3 + X4 ≤ 7

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

2. Приведем к стандартной (канонической) форме:

F = 9X1 + 14X2 +15X3 + 10X4 + 0X5 + 0X6

X1 + X2 + X

3 + 2X4 + X5 = 3

X1 + 2X2 +3X3 + X4 + X6 = 7

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

3. Запишем систему ограничений в векторной форме:

X1 (1/1) + X2 (1/2) + X3 (1/3) + X4 (2/1) + X5 (1/0) + X6 (0/1) = (3/7)

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P0

P5, P6 - базисные

4. Запишем первоначальный опорный план:

Х0 (0, 0, 0, 0, 3,7), F0 = 9*0 + 14*0 +15*0 +10*0 + 0*3 +0*7 = 0

Составим соответствующую плану 1 симплексную таблицу:

Вычислим оценки:

∆ = (Сб*А) - С

∆1 = (0 *1 + 0*1) - 9 = - 9; ∆2 = (0 *1 + 0*2) - 14 = - 14; ∆3 = (0 *1 + 0*3) - 15 = - 15; ∆4 = (0 *2 + 0*1) - 10 = - 10; ∆5 = (0 *1 + 0*0) - 0 = 0; ∆6 = (0 *0 + 0*1) - 0 = 0

Критерием оптимальности является условие, что все ∆ ≥ 0, т.к. это не так, решение не оптимально.

Выберем вектор, который будем включать в базис:

min1 = (3/1; 7/1) = 3; min2 = (3/1; 7/2) =3; min3 = (3/1; 7/3) = 2 1/3; min4 = (3/2; 7/1) = 1 1/2,

теперь посмотрим соотношение min c ∆:

∆f = - ∆*min

∆f 1 = - (-9) *3 = 27; ∆f 2 = - (-14) *3 = 42; ∆f 3 = - (-15) *2 1/3 = 34.95; ∆f 4 = - (-10) *1 1/2 = 15,

Отсюда следует, что менять будем Р5 на Р2.

5. Составим 2 симплексную таблицу:

7- (3*2) /1 = 1; 1 - (1*2) /1 = - 1; 3 - (2*1) /1 = 1; 1- (2*1) /1 = - 1; 0- (1*1) /1 = - 1; 1- (0*1) /1 = 1

∆1 = 14*1+0* (-1) - 9 = 5; ∆3 = 14*1+0*1-15 = - 1; ∆4 = 14*2+0* (-1) - 10 = 4;

∆5 = 14*1+0* (-1) - 0 = 14; ∆6 = 14*0+0*1-0 = 0;

Х1 (0,3,0,0,0,1); F1 = 9*0+14*3+15*0+10*0+0*0+0*1 = 42

Приняв этот план видим, что выпуск 2го вида продукции является наиболее выгодным, остаток сырья 2го вида продукции составит 1 единица.

Т.к. не все ∆ ≥ 0, план не является оптимальным, поэтому продолжим…

Вектором Р3 заменим Р6 min = (3/1, 1/1) = (3,1)

6. Составим 3 симплексную таблицу

3-1*1/1=2; 1- (-1) *1/1=2; 1-0*1/1=1; 2-1* (-1) /1=3; 1-1* (-1) /1=2; 0-1*1/1=-1

∆1 = 14*2+15* (-1) - 9 = 4; ∆2 = 14*1+15*0-14 = 0; ∆4 = 14*3+15* (-1) - 10 = 17;

∆5 = 14*2+15* (-1) - 0 = 13; ∆6 = 14* (-1) +15*1-0 = 1;

Х2 = (0,2,1,0,0,0); F2 = 9*0+14*2+15*1+0 = 43

План является оптимальным, говорим о том, что наиболее выгодным является производство 2единиц 2 вида продукции и 1единицы 3 вида продукции, причем сырье расходуется полностью.

 Скачать реферат