Математические методы оптимизации

при ограничениях

Переменные , называются допустимым решением двойственной задачи, если они удовлетворяют всем ограничениям и оптимальными, если они допустимые и на них целевая функция mg width=19 height=19 src="images/referats/14089/image098.png">достигает минимума.

Экономический смысл двойственной задачи:

двойственная переменная определяет теневую цену работы 1 минуты оборудования линии 1, а двойственная переменная определяет теневую цену работы 1 минуты оборудования линии 2.

Тогда целевая функция задаёт стоимость времени работы оборудования в теневых ценах соответственно для линии 1 и линии 2.

Выражение определяет стоимость 60 минут и 36 минут, затраченных на изготовление единицы изделия А в теневых ценах, а выражение определяет стоимость 32 минут и 60 минут, затраченных на изготовление единицы изделия В в теневых ценах.

Определим величины приведённых стоимостей.

Если величина положительна, то стоимость ресурсов больше рыночной цены этого продукта. В этом случае производство продукта убыточно. Если величина отрицательна, то стоимость ресурсов меньше рыночной цены этого продукта. Если величина равна 0, то стоимость ресурсов равна рыночной цене. Ограничения двойственной задачи

Отсюда следует, что при допустимых теневых ценах производство обоих продуктов неприбыльно.

Можно дать следующую экономическую интерпретацию двойственной задачи. Некоторая фирма предлагает производителю продукции продать ей все запасы ресурсов по теневым ценам и . Решение двойственной задачи определяет минимальный уровень рыночных цен , при котором производить продукцию неприбыльно.

Найдём оптимальное решение двойственной задачи

Из первого задания следует, что допустимое базисное решение

является оптимальным решением прямой задачи.

По оптимальному базисному решению прямой задачи найдём оптимальное решение двойственной. Для этого все ограничения двойственной задачи, соответствующие базисным переменным нужно заменить равенствами

Из этих равенств найдём оптимальные значения двойственных переменных , минимальное значение целевой функции равно

.

Оптимальная теневая цена работы 1 минуты оборудования линии 1 равна , а оптимальная теневая цена 1 минуты оборудования линии 2 равна .

Стоимость работы технологического оборудования, затраченных на изготовление единицы изделия А равна

,

а стоимость работы технологического оборудования, затраченных на изготовление единицы изделия В равна

.

Приведённые стоимости каждого вида изделия будут раны

Отсюда следует, что производство изделий А и В рентабельно.

Определим целесообразность производства продукции С, для которой на изготовление единицы продукции требуется 60 минут и 50 минут времени изготовления на первой и второй линии соответственно. Рыночная цена составляет 120 ден. ед. за единицу продукции. Для этого вычислим стоимость ресурсов, затраченных на изготовление единицы продукции С:

ден. ед.

Приведённая стоимость этого вида продукции будет равна

.

Отсюда следует, что производство единицы продукции С принесёт прибыль ден. ед.

Задание 3. Функция полезности

Пусть функция полезности наборов из двух товаров имеет вид , где

.

· Найти набор товаров, который имеет такую же полезность, как набор и количество второго товара равно 1.

· Для набора найти предельные полезности первого и второго товаров.

· В наборе количество первого товара увеличивается на 0,1, а второго уменьшается на 0,2. Найти приближённое изменение полезности.

РЕШЕНИЕ

1. Функция полезности имеет вид: . Найдём полезность набор :

Кривая безразличия определяет все наборы товаров, которые имеют такую же полезность как набор . Из этого уравнения можно найти набор товаров, в котором количества второго товара равно , подставив это значение в уравнение кривой безразличия , . Таким образом, наборы и безразличны для потребителя.

 Скачать реферат