Математические методы экономики

Моделирование сферы потребления. Потребительские предпочтения. Кривые безразличия. Предельная норма замещения благ. Функция полезности и её свойства. Бюджетное ограничение. Равновесие потребителя. Реакция потребителя на изменение цен и дохода. Уравнение Слуцкого. Эффекты дохода и замены. Классификация благ. Индивидуальный и рыночный спрос. Эластичность спроса по ценам и доходу потребителя.

Построение функции спроса по опытным данным.

В условиях рыночной системы управления производст­венной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рын­ком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе основой предпринимательской дея­тельности становится изучение потребительского спроса.

Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и по­требления.

Уровень потребления об­щества можно выразить целевой функцией потребления U = U(Y), где Y О - вектор переменных разнообразных товаров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометри­ческую интерпретацию уравнений U(Y) = С, где С - ме­няющийся параметр, характеризующий значение (уровень) целевой функции потребления (например, доход или уровень материального благосостояния).

В совокупности потребительских благ каждому уравнению U(Y) = С соответствует определенная поверхность равноцен­ных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегирован­ных групп товаров: продукты питания (y1) и непродовольст­венные товары, включая услуги (у2 ). Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в ви­де кривых безразличия, соответствующих различным значе­ниям С (рис. 8.1, где С1 < С2 < Сз).

Рис. 8.1. График кривых безразличия

Из основных свойств це­левой функции потребления можно отметит следующие:

1. функция U(Y) явля­ется возрастающей функ­цией всех своих аргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизмен­ном уровне потребления всех других благ увеличивает зна­чение данной функции;

2. кривые безразличия не могут пересекаться, т.е. через одну точку совокупности благ (товаров, услуг) можно провести только одну поверхность безразличия;

3. кривые безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси координат, при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направ­лении по каждой оси, т.е. кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.

Методы построения целевой функции потребления осно­ваны на обобщении опыта поведения потребителей и тен­денций покупательского спроса в зависимости от уровня благосостояния.

Рассмотрим моделирование поведения потреби­телей в условиях товарно-денежных отношений на базе це­левой функции потребления. В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.

Пусть в совокупности п видов товаров исследуется пове­дение потребителей. Обозначим спрос потре­бителей через вектор Y = (y1, у2, .,yn), а цены на различ­ные товары - через вектор Р = (р1, р2,…,pп). Пусть D - величина дохода. Тогда потребители могут выбирать только такие комби­нации товаров, которые удовлетворяют ограничению , называемому бюджетным ограничением.

Пусть U(Y) целевая функция потребления. Тогда простейшая модель по­ведения потребителей в векторной форме можно записать в виде:

(8.1)

Геометрическая интерпретация модели (8.1) для двух аг­регированных групп товаров представлена на рис. 8.2.

Линия АВ (в других вариантах А1В1, А2В2) соответствует бюджетному ограничению и называется бюджетной линией. Выбор потребителей ограничен треугольником АОВ (A1OB1, A2OB2).

Рис. 8.2. График простейшей модели поведения потребителя

Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой АВ с наиболее отдаленной кривой безразличия, является оп­тимальным решением (в других вариантах это точки К и L). Легко заметить, что линии АВ и A1B1 соответствуют одному и тому же размеру дохода и разным ценам на товары y1 и у2; линия A2B2 соответствует большему размеру дохода.

На основе теории нелинейного про­граммирования, можно определить математические условия оптимальности решений для модели (8.1). С задачей нели­нейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая для задачи (8.1) имеет вид

L(Y, l,) = U(Y) + l(D - PY),

где множитель Лагранжа l является оптимальной оценкой дохода.

Обозначим частные производные функции U(Y) через Ui:

Они представляют собой предельные полезные эффекты (предельные полезности) соответствующих потребительских благ и показывает на сколько единиц увеличивается целевая функция потребления при увеличении использования i-гоблага (товара) на некоторую условную «малую единицу».

Необходимыми условиями того что вектор Y0 будет оптимальным решением, является условия Куна-Таккера:

при этом

(товар приобретается)

(товар не приобретается) (8.2)

Последнее из соотношений (8.2) соответствует полному использованию дохода, и для этого случая очевидно неравенство .

Из условий оптимальности (8.2) следует, что

Это означает, что потребители должны выбрать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров, т.е. в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.

Функциями спроса называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуг от совокупности факторов, влияющих на него. Рассмотрим построение функций спроса в зависимости от двух факторов – дохода и цен.

Пусть в модели (8.1) цены и доход рассматриваются как меняющиеся параметры. Переменную дохода будем обозначать Z. Тогда решением оптимизационной задачи (8.1) будет векторная функция компонентами которой являются функции спроса на определенный товар от цен и дохода:

 Скачать реферат