Математические методы экономики

называется пространством затрат. Аналогично определяется пространство выпуска:

Для отражения реальных возможностей фирмы в математических моделях часто применяются более узкие множества .

Технологическая связь между затратами и выпуском описывается с помощью производственной функции.

Определение 4.1. Любая функция , ставящая в соответствие каждому вектору затрат x вектор максимального выпуска, который может быть получен при этих затратах, называется производственной функцией.

Это есть определение производственной функции для многопродуктовой фирмы, т.е. векторной производственной функции. Если фирма выпускает только один вид продукта, то производственная функция является скалярной: или

В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме: , где A - -матрица параметров (технологическая матрица). В некоторых моделях применяется следующее выражение для производственной функции: , где переменные со знаком "-" обозначают затраты, а со знаком "+" - выпуски.

Если в качестве независимых переменных (аргументов) выступают затраты (см. (4.2.1) ), то производственную функцию иногда называют функцией выпуска, если же фиксирована величина выпуска (y), то производственная функция является функцией затрат ( ). Таким образом, функция выпуска и функция затрат являются взаимно обратными друг другу функциями.

Применение производственных функций не ограничивается выявлением зависимости затраты-выпуск. Различные приемы математического аппарата позволяют использовать их для вычисления численных характеристик производства, анализа эффективности изменения масштаба производства и технологического прогресса, исследования эластичности производственных факторов, рационального ведения хозяйства, оптимального планирования и прогнозирования вариантов развития фирмы и др.

Поэтому очень важно, чтобы производственная функция объективно отражала моделируемую действительность, т.е. чтобы она удовлетворяла содержательно-логическим и экономическим требованиям. Основные из них следующие:

• в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса факторы;
• все величины должны иметь отчетливый экономический смысл;
• все экономические величины, входящие в производственную функцию, должны быть измеримы;
• выпуск продукции без затрат невозможен;
• если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может расти бесконечно;
• увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска.

Вопрос об адекватном описании экономической реальности на языке производственных функций тесно связан с их математическими свойствами. Ради простоты эти свойства приведем для однопродуктового производства, т.е. для производственной функции вида (4.2.1) .

1. Монотонность: из и следует .

2. Вогнутость: для любых и справедливо неравенство .

3. Поведение в начале координат: .

4. Однородность: , где - масштабное число, - степень однородности.

Если производственная функция дифференцируема по всем аргументам, то свойства 1 и 2 соответственно могут быть заменены следующими неравенствами:

Частные производные называются предельными продуктами. Условие (4.2.2) , как и свойство 1, означает, что увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Условие (4.2.3) показывает, что увеличение затрат одного вида ресурса (при постоянном уровне затрат других ресурсов) приводит ко все меньшему приросту выпуска. Это свойство в экономической теории называется законом убывающей доходности (отдачи).

Свойство 3 является отражением бездеятельности, так как без затрат нет и выпуска. Свойство 4 описывает реакцию производства на изменение затрат. Параметр показывает масштаб изменения производства (расширения производства - если , сужения производства - если ), а - эффект от изменения масштабов производства. Если , то одновременное увеличение всех факторов в раз приводит к возрастанию объема выпуска больше, чем в раз (), т.е. эффект от расширения масштаба производства положителен. При получаем: - выпуск возрастает в той же пропорции, что и затраты. Такие функции называются линейно-однородными (или однородными в первой степени).

Если

то говорят о возрастающем (убывающем) доходе от расширения масштаба производства. Заметим, что свойство 4 определено в точке, тогда как свойства 1 и 2 - во всем пространстве затрат.

 Скачать реферат