Математические методы экономики

на хj и, выполнив простейшие преобразования, полу­чим

где vj / xj= - доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что >0, так как в процес

се производства не может не создавать­ся новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицатель­ном Y система

X - AX = Y или (E - A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэф­фициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде

Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А2+ .+Аk+ . (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k³ 30.

Формула (4) имеет строгое математическое доказательство. Но мы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х как результат некоторого гипотетического процесса последовательного уточне­ния промежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвести эконо­мическая система, равенY. Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х0 =Y. Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарная потребность составляет X1 =АХ0=АY. Вектор X1 можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для производства Х0. Но под обеспечение производства X1 тоже нужна проме­жуточная продукция: X2 =АХ1 =А2Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х0+Х1+Х2+ .+Хk+ . = Y+АY+А2Y+ .+AkY+ . =

= (е+а+а2+…+аk+ .)Y.

Полные затраты можно разложить на прямую и косвенную составля­ющие. Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные А2+А3+…+Аk+ . относятся к предшествую­щим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посред­ство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы А2 представляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы А3 - косвенные затраты второго порядка и т. д.

Статическая модель межотраслевого баланса, расширенная балансом труда. Коэффициенты полных затрат труда. Коэффициенты фондоёмкости отраслей. Баланс основных производственных фондов. Статическая модель межотраслевого баланса, расширенная балансом основных производственных фондов.

Показатели использования трудовых ресурсов и основных производст­венных фондов также могут быть исследованы в межотраслевом контексте.

Пусть L - среднегодовая численность работников i-й отрасли. По ана­логии с коэффициентами прямых материальных затрат вводятся коэффи­циенты прямых затрат труда:

Зная эти коэффициенты, можем вычислить суммарную потребность в трудовых ресурсах при заданном объеме валового производства:

Валовое производство можно выразить через конечную продукцию по формуле

Воспользуемся этой формулой и запишем предыдущее соот­ношение так:

Величина показывает, какое количество трудовых ресурсов i-й отрас­ли необходимо для того, чтобы обеспечить i-й продукцией выпуск единицы j-го конечного продукта. Суммируя по всем отраслям, получаем

или в векторной форме:

Т=ВTt.

Тj - коэффициент полных затрат труда (полная трудоемкость). Он по­казывает, какое количество трудовых ресурсов всех отраслей необходимо для производства единицы j-го конечного продукта.

Таким образом, суммарная потребность в трудовых ресурсах может быть вычислена двумя способами:

(1)

Аналогично определяются коэффициенты прямой и полной фондоемкости. Пусть Fi - среднегодовое количество используемых основных фон­дов. Тогда коэффициент прямой фондоемкости

Коэффициент полной фондоемкости

То же в векторной форме:

Ф = ВTt.

Коэффициент Фj показывает, какое количество основных фондов всех отраслей необходимо для производства единицы j-го конечного продукта.

По аналогии с (1) суммарная потребность в основных фондах вычис­ляется так:

Коэффициенты полной трудоемкости и фондоемкости можно подобно коэффициентам полных материальных затрат рассматривать как сумму прямой и косвенной составляющих. Например, для полной фондоемкости:

Ф=(Е+А+А2+ .+Ак+ .)Т, f=f+(А+А2+ .+Аk+ .)Тf.

Косвенная составляющая полной фондоемкости (так же, как и полной трудоемкости) сравнительно невелика в сырьевых отраслях и возрастает в "завершающих" отраслях до 90¸95%.

Пример. Вычислить общую потребность в трудовых ресурсах, если известны коэффициенты прямых материальных затрат, коэффициенты прямых затрат труда и задан вектор конечного продукта:

Для решения этой задачи нужно воспользоваться формулой

Как видим, возможны два способа: 1) вычислить Х = ВY, а затем приме­нить формулу L=(t,x); 2) вычислить коэффициенты полных затрат труда Т =BTt и далее L=(Т,Y). Но в обоих случаях необходимо сначала вычислить

матрицу В.

 Скачать реферат