Некоторые аспекты моделирования конкурентного равновесия

(3.3)

(3.4)

Модель (2.5), в которой функции и определены в виде (3.3) и (3.4), называется моделью Эрроу-Дебре, если выполнены следующие требования.

У‑1. Множество компактно в th=24 height=24 src="images/referats/1510/image161.gif">и содержит нулевой вектор (j=0,…, m).

У‑2. Множество выпукло в .

У‑3. Множество замкнуто и выпукло в и таково, что из , для некоторого r, следует для всех k=1,…, n (i=1,…, l).

У‑4. Функция полезности непрерывно дифференцируема на и строго вогнута (i=1,…, l).

У‑5. Функция обладает свойством ненасыщаемости (i=1,…, l).

У‑6. Существует , для которого (i=1,…, l).

Условие У‑1, с учетом непрерывности функции прибыли, обеспечивает существование решения задачи (3.2). Условие У‑2 допускает эффективность использования «смешанных» планов производства на уровне всего производственного сектора. Условия У‑3 и У‑4 имеют технический характер. Условие У‑6 требует наличия у каждого потребителя «существенного» начального запаса всех товаров. Оно считается достаточно жестким, но без него (или незначительного его ослабления) нельзя доказать существование конкурентного равновесия в модели Эрроу-Дебре (см. замечание после доказательства теоремы 3.1).

Прежде чем приступить к доказательству теоремы, разъясню несколько терминов и сформулирую вспомогательные утверждения.

Пусть , а F – множественнозначное отображение, которое переводит каждую точку в некоторое подмножество множества X (, ).

Отображение F называется полунепрерывным сверху, если из соотношений , где , и , где , следует . Другими словами, для каждого открытого множества U, содержащего множество , можно найти такое число , что , как только (где – расстояние между точками и ).

Непрерывное отображение всегда полунепрерывно сверху, а обратное неверно. Чтобы полунепрерывное сверху отображение было непрерывным, нужно, чтобы оно было одновременно полунепрерывным снизу, т.е. для каждого при существовали такие , что .

Отображение F называется ограниченным, если для любого множество F(x) является ограниченным, как подмножество евклидова пространства .

Лемма 3.1. Пусть P, X – выпуклые и компактные подмножества пространства , – такое множественнозначное отображение, что для любого множество B(p) есть непустой выпуклый компакт. Тогда множественнозначное отображение , такое, что

полунепрерывно сверху, если функция непрерывна и вогнута.

Пусть , . Линейное уравнение называется гиперплоскостью в (или (n‑1) – мерным линейным многообразием). Это есть обобщение понятия обычной плоскости в . Гиперплоскость делит все пространство на две части: и .

Пусть . Говорят, что гиперплоскость разделяет X и Y, если для всех , а для всех . Например, если X и Y – выпуклые множества, не имеющие общих точек, то, очевидно, между ними существует разделяющая гиперплоскость.

Лемма 3.2. Пусть – выпуклое множество, не имеющее общих точек с неотрицательным ортантом . Тогда найдется вектор , у которого хотя бы одна компонента строго положительна и для всех .

 Скачать реферат