Страница
7
Доказательство этого утверждения предоставлено на рисунке.
Рис. 5. Иллюстрация к лемме 3.2.
Точка 
называется неподвижной точкой множественнозначного отображения F, определенного на X, если 
.
Приведем без доказательства теорему существования неподвижной точки.
Теорема (Какутани). Пусть 
– компактное, выпуклое множество, а F – полунепрерывное сверху отображение, которое каждой точке 
ставит в соответствие замкнутое, выпуклое подмножество 
. Тогда отображение F имеет неподвижную точку в X.
Доказательство существования равновесия в модели Эрроу-Дебре будет проведено с помощью леммы Гейла, которую сформулируем в терминах элементов рынка. Сначала пронормируем цены, поделив все pk на одну и ту же величину 
. Тогда пространство цен P превращается в стандартный симплекс, лежащий в неотрицательном ортанте 
:
Пронормировав таким образом цены переходим к другому масштабу цен. В данном случае преобразование пространства цен в стандартный симплекс преследует чисто технические цели.
Лемма (Гейла). Пусть S – ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение симплекса P в 
, удовлетворяющее условиям:
a) S(p) есть непустое выпуклое множество для всех 
;
b) для всех 
. Тогда существуют такие и , что 
.
Условие b) означает, что для каждого множество 
не имеет общих точек с неположительным ортантом 
. Действительно, для любой точки 
и любого 
(рис. 6). При этих условиях лемма Гейла утверждает о существовании такого , что 
не пусто.
Рис. 6: Иллюстрация к лемме Гейла
Доказательство проведем от противного: пусть лемма не верна. Это означает, что ни для одного вектора множество S(p) не имеет общих точек с . Покажем, что в этом случае существует такое сколь угодно малое положительное число 
(не зависящее от p и z), что семейство 
выпуклых множеств 
также не касается неотрицательного ортанта (рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к доказательству леммы
Действительно, если бы это было так, то существовала бы последовательность 
и точки 
, 
, для которых 
при 
(сходящаяся последовательность 
найдется, так как 
компактны и лежат в ограниченной области пространства 
). Тогда из полунепрерывности сверху отображения S следуют соотношения 
и 
, что противоречит нашему предположению. Следовательно, семейство не пересекается с неотрицательным ортантом.
Тогда для каждого множества 
из этого семейства и положительного ортанта существует разделяющая гиперплоскость 
, такая, что для любого 
.
Построим множественнозначное отображение 
, где множество 
состоит из всех тех векторов симплекса P, которые представляют гиперплоскости, разделяющие положительный ортант и множество . Так как это семейство не касается с положительным ортантом, множество непусто. Отображение 
полунепрерывно сверху, как и отображение W (полунепрерывность последнего вытекает из его вида и аналогичного свойства S). Благодаря этому свойству отображения , множество выпукло и замкнуто, как и симплекс 
. Следовательно, отображение удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани и потому имеет в P неподвижную точку 
. Но, согласно условию b) леммы, для этой точки справедливо неравенство 
при 
. Тогда 
для 
. Последнее противоречит неподвижности точки p0 в 
. Следовательно, наше первоначальное предположение приводит к противоречию, что и доказывает лемму.
Скачать реферат