Некоторые аспекты моделирования конкурентного равновесия
Доказательство этого утверждения предоставлено на рисунке.
Рис. 5. Иллюстрация к лемме 3.2.
Точка называется неподвижной точкой множественнозначного отображения F, определенного на X, если .
Приведем без доказательства теорему существования неподвижной точки.
Теорема (Какутани). Пусть – компактное, выпуклое множество, а F – полунепрерывное сверху отображение, которое каждой точке ставит в соответствие замкнутое, выпуклое подмножество . Тогда отображение F имеет неподвижную точку в X.
Доказательство существования равновесия в модели Эрроу-Дебре будет проведено с помощью леммы Гейла, которую сформулируем в терминах элементов рынка. Сначала пронормируем цены, поделив все pk на одну и ту же величину . Тогда пространство цен P превращается в стандартный симплекс, лежащий в неотрицательном ортанте :
Пронормировав таким образом цены переходим к другому масштабу цен. В данном случае преобразование пространства цен в стандартный симплекс преследует чисто технические цели.
Лемма (Гейла). Пусть S – ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение симплекса P в , удовлетворяющее условиям:
a) S(p) есть непустое выпуклое множество для всех ;
b) для всех . Тогда существуют такие и , что .
Условие b) означает, что для каждого множество не имеет общих точек с неположительным ортантом . Действительно, для любой точки и любого (рис. 6). При этих условиях лемма Гейла утверждает о существовании такого , что не пусто.
Рис. 6: Иллюстрация к лемме Гейла
Доказательство проведем от противного: пусть лемма не верна. Это означает, что ни для одного вектора множество S(p) не имеет общих точек с . Покажем, что в этом случае существует такое сколь угодно малое положительное число (не зависящее от p и z), что семейство выпуклых множеств также не касается неотрицательного ортанта (рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к доказательству леммы
Действительно, если бы это было так, то существовала бы последовательность и точки , , для которых при (сходящаяся последовательность найдется, так как компактны и лежат в ограниченной области пространства ). Тогда из полунепрерывности сверху отображения S следуют соотношения и , что противоречит нашему предположению. Следовательно, семейство не пересекается с неотрицательным ортантом.
Тогда для каждого множества из этого семейства и положительного ортанта существует разделяющая гиперплоскость , такая, что для любого .
Построим множественнозначное отображение , где множество состоит из всех тех векторов симплекса P, которые представляют гиперплоскости, разделяющие положительный ортант и множество . Так как это семейство не касается с положительным ортантом, множество непусто. Отображение полунепрерывно сверху, как и отображение W (полунепрерывность последнего вытекает из его вида и аналогичного свойства S). Благодаря этому свойству отображения , множество выпукло и замкнуто, как и симплекс . Следовательно, отображение удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани и потому имеет в P неподвижную точку . Но, согласно условию b) леммы, для этой точки справедливо неравенство при . Тогда для . Последнее противоречит неподвижности точки p0 в . Следовательно, наше первоначальное предположение приводит к противоречию, что и доказывает лемму.
Другие рефераты на тему «Экономико-математическое моделирование»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Выборочные исследования в эконометрике
- Временные характеристики и функция времени. Графическое представление частотных характеристик
- Автоматизированный априорный анализ статистической совокупности в среде MS Excel
- Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций
- Анализ рядов распределения
- Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики
- Безработица - основные определения и измерение. Потоки, запасы, утечки, инъекции в модели