Особенности применения технологии квантового обучения в преподавании математики

Многогранник, составленный из п-угольника А1А2 .Ап и п треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A1A2 .An называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,, РА2,, ., РАп — ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием A1A2 .An и вершиной Р обозначают так

: РA1A2 .An — и называют n-угольной пирамидой. На рисунке 74 изображены четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида — это тетраэдр.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 73 отрезок РН — высота пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды — сумма площадей ее боковых граней. Очевидно,

Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой (рис. 75).

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим правильную пирамиду РА1А2 .Ап (рис. 75). Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а другим — радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро РА1 — гипотенуза треугольника ОРА1 в котором OP=h, OA1 = R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно , поэтому РА1=РА2 = . = РАп.

Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды РА1А2 .Ап равны друг другу, поэтому боковые грани — равнобедренные треугольники.

Основания этих треугольников также равны друг другу, так как A1A2 .An — правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. На рисунке 75 отрезок РЕ — одна из апофем. Ясно, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство. Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, основания которых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведении сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т. е. его периметр. Теорема доказана.

Усеченная пирамида. Возьмем произвольную пирамиду РА1А2 .Ап и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В1, В2,, Вп (рис. 76). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются п-угольники А1А2 .Ап и В1В2 .Вп (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и п четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2 ,…, АпА1В1Вп (боковые грани), называется усеченной пирамидой. Отрезки А1В1, А2В2, ., АпВп называются боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями А1А2 .Ап и В1В2 .Вп обозначают так: А1А2 .АпВ1В2 .Вп.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 76 отрезок СН — высота усеченной пирамиды.

Докажем, что боковые грани усеченной пирамиды — трапеции. Рассмотрим, например, боковую грань A1A2B2B1 (рис. 76). Стороны А1А2 и В1В2 параллельны, поскольку принадлежат прямым, по которым плоскость РА1А2 пересекается с параллельными плоскостями α иβ. Две другие стороны А1В1 и А2В2 этой грани не параллельны — их продолжения пересекаются в точке Р. Поэтому данная грань — трапеция. Аналогично можно доказать, что и остальные боковые грани — трапеции.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники, а боковые грани — равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.

Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

В качестве домашнего задания докажите следующую теорему:

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему

Теперь давайте сделаем маленький перерыв.

<перерыв>

Прежде, чем приступить к решению задач, мы с вами рассмотрим творческие методы решения задач, которые предлагает квантовое обучение.

творческое мышление.

Как вы думаете, какими качествами обладает творческая личность?

Творческая личность наделена любопытством и интуицией, любит экспериментировать, играть, пускаться в приключения. И такой творческой личностью может стать каждый человек – и вы!

Оцените по десятибалльной шкале, насколько вы творческий человек. Стив Куртис, бизнесмен и эксперт по определению творческих задатков, всегда задает этот вопрос кандидатам на рабочее место. Место получает тот, кто ставит себе 10 баллов. Стив объясняет свой принцип так: « Все люди рождаются творческими личностями. Если человек верит в это, он всегда сможет найти оригинальные решения рутинных проблем как на работе, так и в личной жизни. И я хочу работать именно с такими людьми».

Люди определенного круга – художники, ученые и изобретатели – в нашем обществе считаются таинственными и загадочными лишь потому, что они «творческие личности». Однако у каждого из нас есть способности творчески мыслить и решать задачи. Для развития этих способностей необходимы три качества: пытливость ума, готовность рисковать и напористость в осуществлении своих планов. И найти в себе эти качества может любой человек.

Теперь давайте рассмотрим составляющие решения – мыслительные процессы:

Вертикальное мышление - процесс пошагового движения к цели, похожий на подъем по лестнице - ступенька за ступенькой;

Латеральное мышление – изучение проблемы под новым углом зрения, словно перепрыгивания с одной лестницы на другую;

Критическое мышление – применение тщательного взвешивания или оценок, как при расчете осуществимости идеи или рентабельности производства какого-то либо вида продукции;