Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции

Рис. 16

Учитель: Чему равен периметр? Площадь?

Ученики: P=40км, а S=км2≈72 км2

Учитель: Судя по этим примерам, можем ли мы предположить, что параллелограмм искомая фигура?

Ученики: Нет.

Учитель: Предлагаю рассмотреть ещё один пример – прямоугольную трапецию (третий слайд):

src="images/referats/28788/image140.jpg" alt="http://festival.1september.ru/articles/311608/img1.jpg">

Рис. 17

Учитель: Найдите периметр и площадь.

Ученики: P=40 км, а S=78 км2

Учитель: Теперь мы можем сделать вывод, какую же фигуру должен был обежать Пахом?

Ученики: Нет, не можем. Ведь может получиться, что это допустим ромб!

Учитель: Ребята, а сможем ли мы с вами перебрать сейчас все четырёхугольники с периметром 40 км и найти тот, площадь которого наибольшего?

Ученики: Нет, это же может продолжать бесконечно!

Учитель: Совершенно верно. Поэтому я предлагаю рассмотреть следующую задачу:

Периметр прямоугольника равняется 40 км. Какую длину должны имеет стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

	b

Рис. 18

Учащиеся вместе с учителем решают данную задачу. Учитель записывает на доске, ученики в тетради.

Учитель: Как найти периметр и площадь прямоугольника?

Ученики: P=2(a+b), S=a*b

Учитель: Так как Р=40 км, то мы можем записать так 2(a+b)=40, a+b=20. Из этого равенства выразите длину через ширину.

Ученики: b=20-a

Учитель: Давайте обозначим через x – длину, а через (х-20) – ширину. Как вы думаете, какие значения может принимать х?

Ученики: от 0 до 20

Учитель: Да, запишем неравенство 0<x<20. Теперь наша задача звучит так, при каких х площадь прямоугольника будет наибольше? Для этого нам нужно составить функцию: S(x)=x(20-x)= 20x – x2. В начале урока мы не зря повторяли алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Что нам делать дальше?

Ученики: Нужно найти производную, приравнять к нулю, найти критические и стационарные точки, исследовать на экстремум:

S' (x) = 20-2x;

20-2х=0; х=10.

Учитель: Значит, длина и ширина равны 10 см. Какая получается фигура? (Квадрат). Теперь давайте исследовать на экстремум.

Ученики:

			10

Т.о. х=10 – точка максимума, а отсюда следует, что

Ответ: a=10 км, b=10км

Учитель: А теперь вернёмся к задаче о земле, с которой мы начали урок. Какую же фигуру Пахом должен был обежать, чтобы площадь фигуры была наибольшей? (Квадрат).

П.Л. Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший”). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение. Решением таких задач занимается особая ветвь математики. Ее название мы попытаемся выяснить в процессе решения задач.

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме (схема высвечивается на экране):

составление математической модели;

работа с моделью;

ответ на вопрос задачи.

Как раз эту схему мы с вами использовали при решении предыдущей задачи.

Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи на оптимизацию, используя математические модели.

Рекомендации по решению задач у вас лежат на столах (см. Материалы к уроку для организации самостоятельной работы учащихся).

IV этап. Усвоение новых знаний (22 мин.).

Так как составление математической модели задачи вызывает трудность у большинства учащихся, то следующую задачу предлагается решить вместе. Учащийся по желанию выходит к доске для оформления решения задачи (дается задача более высокого уровня, чем предыдущая).

Задача 2. Найти сторону ромба наибольшей площади, если известно, что d1+d2=10.

Учитель: Что нам дано?

Ученик: Дан ромб, сумма диагоналей которого равна 10

Учитель: Что нужно найти?

Ученик: сторону ромба

Учитель: Давайте сделаем рисунок. Давайте в качестве

оптимизируемой величины возьмём одну из диагоналей.

Ученик: Пусть х=d1. Тогда можно вторую диагональ выделить через другую:

d2=10-x

Учитель: В каких приделах будет находится x?

Ученик: 0<x<10

Учитель: Хорошо. Чему равна площадь ромба?

Ученик: Половине произведения диагоналей.

Учитель: Верно. Давайте составим функцию.

Ученик: f(x)=

Учитель: Функция составлена, интервал, на котором задана функция есть. Что будем делать дальше?