Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции

1. Составление математической модели;

2. Работа с моделью;

3. Ответ на вопрос задачи.

Примеры задач:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:

y =-3 на [0;2].

Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площ

адь была наибольшей?

Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошел человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на a м, а верхняя точка постамента – на b м. На каком расстоянии от памятника должен стоять человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

В данных примерах при решении требуется использование производной. Но у Мордковича А.Г. также есть ряд задач, в которых нужно найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции без использования производной. Например:

на []

Так же имеются задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке:

y =на (0;4]

y = на (-∞;0]

2) «Алгебра и начала анализа 10-11 класс», под ред. Колмогорова А.Н.

Данная тема в учебнике под ред. Колмогорова А.Н. называется «Наименьшее или наибольшее значение функции». Колмогоров А.Н., в отличие от Мордковича А.Г., не разбивает рассматриваемую тему на подпункты. Он так же как и Мордкович А.Г. отмечает, что в курсе математического анализа доказывается следующая теорема, называемая теоремой Вейерштрассе: непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют точки отрезка, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

Далее автор учебника проводит рассуждения о том как найти наибольшее или наименьшее значения функции. Но чёткого алгоритма нахождения наибольшего или наименьшего значений функции, как у Мордковича А.Г. у него нет. Излагая метод поиска наибольших и наименьших значений функции на отрезке в начале пункта, он отмечает, что данный метод применим и к решению разнообразных прикладных задач. После этого он, как и Мордкович А. Г., предлагает схему решения таких задач, называемую методом математического моделирования:

задача «переводится» на язык функции. Для этого выбирают удобный параметр x, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x);

средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Приведём примеры задач из данного учебника:

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y =на промежутках [-3;-2] и [1;5]

Сравните наибольшее значения функции на промежутке P1 и наименьшее её значение на промежутке P2: y=, P1=[-4;0], P2=[3;4]

Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t)=, где s(t) – путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из промежутка [4;10] скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой скорости?

Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см.

Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А (участок АВ берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Можно заметить, что учебник Колмогорова более насыщен разнообразными задачами на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций чем учебник Мордковича А.Г.

3) «Алгебра и начала анализа 10-11 класс», Башмаков М.И.

В учебнике Башмакова М.И. данная тема рассматривается в отдельном параграфе «Приложения производной» в пункте называемом «Задачи на максимум и минимум». Хочется заметить, что в учебнике Башмакова М.И. теории нет как таковой. В начале пункта автор показывает, что данная тема имеет практическое приложение в обыденной жизни. Что большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего решения задачи, которая перед ним возникает. Далее Башмаков М.И. выделяет алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений, когда функция задана на отрезке и имеет производную во всех точках этого отрезка:

Найти критические точки;

Вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка;

Из найденных значений найти наибольшее и наименьшее.

Потом рассматривается ряд графиков, изучив которые, учащимся предлагается самостоятельно подумать над тем, что происходит с наибольшим и наименьшим значениями этих функций. Далее автор рассматривает ряд задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. В отличие от Мордковича А.Г. и Колмогорова А.Н., Башмаков М.И. не дает конкретной схемы решения прикладных задач. И это усложняет процесс усвоения данной темы. Следует отметить, что предлагаемые Башмаковом М.И. задачи на данную тему весьма сложные, и решить их сможет не каждый ученик. Проверить правильность решения так же не удастся, так как и ответы к данному пункту не приведены.

Примеры задач:

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке y = на []

Найдите наименьший член последовательности an=

Какую наименьшую площадь полной поверхности может иметь цилиндр. Если его объём равен V?

Найдите число, которое, если сложить со своим квадратом, даст наименьшую сумму.

Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v км/ч, составляет (90+) рублей в час. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км путь была наименьшей?