Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или как часто говорят, оптимального, решения поставленной задачи. Как, располагая определёнными ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общес

тва. Не все такие задачи поддаются точному математическому описанию, не для всех из них найдены короткие пути решения. Однако часть таких задач поддаётся исследованию с помощью методов математического анализа – это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции.

Данная тема в школьном курсе алгебры недостаточно раскрыта. В учебниках школьной программы задачи такого вида рассматриваются в пункте о применении производной, а другие методы не рассматриваются. В то же время, актуальность этой темы очень высока, так как решение многих практических задач сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений. Крайне важен тот факт, что задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения величины регулярно встречаются в части C единого государственного экзамена, как задания высокого уровня сложности, причем обладают одним из самых высоких рейтингов. Отсюда вытекает, что учащиеся должны в совершенстве владеть данным материалом. Соответственно и сам учитель должен быть компетентен в этом вопросе.

Поэтому целью моей работы является систематизация методического материала по данной теме из различных пособий в помощь учителю и учебников.

Историческая справка

Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории математики играли важную роль в развитии этой науки. За все это время накопилось большое число красивых, важных, ярких и интересных задач в геометрии, алгебре, физике и т.п. В решении этих конкретных задач принимали участие крупнейшие ученые прошлых эпох - Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Тарталья, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли, Ньютон и многие другие. Решение конкретных задач стимулировало развитие теории, и в итоге были выработаны приемы, позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной природы

Задачи на максимум или минимум называют экстремальными задачами в математике. С простейшими экстремальными задачами знакомят в школе, в общем виде теория экстремальных задач изучается в университетах. В Древней Греции уже давно (во всяком случае до VI века до н.э.) знали об экстремальных свойствах круга и шара, например:

среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (решение изопериметрической экстремальной задачи);

шар имеет максимальный объем среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопифанной экстремальной задачи).

История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Так же известна следующая задача Евклида (IV век до н.э.): в заданный треугольник ABC вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади.

После гибели античной цивилизации научная жизнь в Европе стала возрождаться только в XV веке. Экстремальные задачи оказались среди тех, которыми интересовались лучшие умы того времени. Если в античные времена экстремальные задачи исследовались только геометрическими методами, и каждая задача для своего решения требовала специфического приема, то в XVII веке появились общие методы изучения экстремальных задач, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Первые элементы математического анализа были созданы И. Кеплером (1615 год), который так описывает появление своего открытия: "Мне как хорошему хозяину следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец - измерить вместимость бочонков, чтоб назначить цену на вино. Для этого он опускал в каждый бочонок железный прут и, не прибегая ни к какому вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина". После размышлений Кеплер открыл секрет такого простого способа измерения объема бочек. Оказалось, что бочары за долгую историю научились изготавливать бочки такой формы, при которой они имели наибольший объем при заданной длине мокрой части прута. А поскольку в окрестности максимума значения функции изменяются мало (в этом суть открытия И. Кеплера), то торговец вина почти не ошибался при объявлении объема бочки по одному измерению.

Открытое И. Кеплером основное свойство экстремумов было, затем оформлено в виде теоремы сначала П. Ферма (для многочленов), потом И. Ньютоном и Г.В. Лейбницем для произвольных функций и носит теперь название теоремы Ферма, согласно которой в точке экстремума x0 непрерывной функции f(x) производная функции равна нулю. С тех пор исследование функций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к созданию современного математического анализа.

О месте темы в курсе математики средней школы

Такие свойства функции, как монотонность (убывание и возрастание), а позднее экстремум функции (максимум и минимум), наибольшее и наименьшее значение функции, неоднократно рассматриваются учащимися в курсе математики средней школы, например, при изучении линейной функции, квадратной и кубической парабол, при исследовании квадратного трёхчлена, при рассмотрении свойств тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Внимание к изучению именно этих свойств вполне естественно, так как они характеризуют важнейшие стороны явлений действительности, описываемых теми или иными функциями. Однако до введения понятия производной в нашем распоряжении нет инструмента, с помощью которого можно исследовать разнообразные функции единым методом. Следовательно, для того чтобы рассматривать приложения производной к исследованию функций, должен быть, во-первых, накоплен некоторый запас функций, исследованных так называемыми элементарными методами, причём опыт анализа должен подвести обучаемых к пониманию необходимости обобщения и, во-вторых, учащиеся должны в основном овладеть самим инструментом исследования, т.е. достаточно отчётливо представлять, что такое производная.

По современной программе этим требованиям соответствует 10-11 классы, в которых и предусмотрена специальная тема: «Применение производной». Разумеется, что применение производной к исследованию функции не ограничивается рамками этой темы, а продолжается в процессе изучения всего курса начала анализа, в особенности при изучении показательной, логарифмической и тригонометрических функций, изучаемых несколько позднее.