Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции

Второй способ (геометрический)

Пусть ABC – один из треугольников с заданным основанием и заданным углом при вершине (рис.2). Опишем около него окружность, тогда вершины всех треугольников с основанием a и углом при вершине лежат на дуге BAC; один из таких треугольников – равнобедренный, обозначим его BA1C. Проведём биссектрису

AD треугольника ABC и биссектрису A1D1 треугольника BA1C. Докажем, что A1D1 > AD.

Продолжим обе биссектрисы до пересечения с описанной окружностью – точкой пересечения будет точка M середина дуги DC (равные вписанные углы BAM и MAC опираются на равные дуги BM и MC). A1M – диаметр окружности, поэтому A1M > AM. В то же время MD > MD1, тогда A1M - MD1 > AM – MD, т.е. A1D1 > AD.

Итак, наибольшую биссектрису имеет равнобедренный треугольник.

Рис. 14

Конспект урока по теме «Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин»

Данный урок является первым из трех предусмотренных программой уроков по данной теме. Учащиеся к этому времени уже знакомы с математическим моделированием решения известных им типов задач. Прежде чем приступить к изучению данной темы, учитель должен быть уверен, что учащиеся владеют знаниями и навыками применения алгоритма на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке или интервале. Поэтому на уроке основной упор делается на составление модели задачи и не столь подробно рассматривается вспомогательный материал. В ходе урока предполагается, что каждый учащийся достигнет определенного уровня понимания материала, поэтому этап усвоения знаний разработан дифференцированно. Ожидаемый результат по окончании изучения материала:

1-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения типовых задач;

2-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения типовых задач в нестандартной ситуации;

3-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения нестандартных задач.

На первом уроке в основном рассматриваются более привычные для учащихся задачи с математическим содержанием. В дальнейшем предполагается решение задач с практическим содержанием (одна из них разбирается уже на первом уроке). Для этого могут использоваться как задачи из пособия, так и дополнительные источники.

Цели урока:

Применение математического моделирования как способа активизации аналитического мышления.

Формирование у учащихся навыков использования схемы для решения задач оптимизации.

Развитие навыков самостоятельной работы.

Развитие логического мышления, монологической речи.

Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Воспитание внимания, аккуратности.

Структура урока:

Организационный этап; сообщение темы урока(1 мин)

Актуализация опорных знаний (3 мин)

Объяснение нового материала (12 мин)

Усвоение новых знаний, решение задач (22 мин)

Подведение итогов урока (2 мин)

Домашнее задание (2 мин)

Оборудование: учебник “Алгебра и начала анализа 10-11” (автор: Мордкович А.Г.), задачник “Алгебра и начала анализа 10-11” (авторы: Мордкович А.Г., Денищева Л.О. и др.), памятки с методическими рекомендациями по решению задач, компьютер, мультимедийный проектор.

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.).

Здравствуйте, садитесь. Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы: «Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции».

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (3 мин.).

Учитель: Для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала, нам необходимо повторить пройденный материал. Давайте вспомним алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и на интервале.

Ученики: Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке нам нужно найти область определения функции. Потом мы находим производную. Далее находим стационарные и критические точки функции, лежащие внутри данного отрезка. И вычисляем значения функции в точках, отобранных на предыдущем шаге, и в концах отрезка, потом выбираем среди этих значений наименьшее и наибольшее.

Ученики: Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале нам нужно найти область определения функции. Потом мы находим производную. Далее находим стационарные и критические точки функции, лежащие внутри данного интервала, исследуем функцию на монотонность и экстремумы. И потом вычисляем значения функции в отобранных точках, далее выбираем среди этих значений наименьшее и наибольшее.

III этап. Объяснение нового материала (13 мин).

Учитель: Изучение нового материала мы начнем сегодня с рассказа Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо”. В нем говорится о крестьянине Пахоме, мечтавшем о собственной земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: “Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник”. Так как в задаче не сказано, какой именно четырёхугольник обежал Пахом, то мы с вами можем предположить, что это мог быть параллелограмм, ромб, какая-то трапеция, прямоугольник, а может вообще произвольный четырёхугольник. Я же перед вами ставлю задачу: выяснить, какой четырёхугольник должен был обежать Пахом, чтобы площадь была наибольшей? Давайте предположим, что искомый четырёхугольник – трапеция (высвечивается первый слайд):

		12

Рис. 15

Учитель: Кто-нибудь помнит формулу для вычисления периметра и площади трапеции?

Ученики: Площадь трапеции равна произведению половины суммы ее оснований на высоту. А периметр есть сумма длин всех сторон трапеции.

Учитель просит вычислить периметр и площадь данной трапеции (Р=40км, S=км2≈64 км2).

Учитель: Для ответа на наш вопрос мало одной фигуры, давайте рассмотрим ещё четырёхугольник – параллелограмм (высвечивается второй слайд):